Question

一个函数问题

定义在实数上的任意函数f(X)都可以表示成一个奇函数g(X)与一个偶函数h(X)之和，如果f(X)=lg(10x的次方+1),x属于R，
求g(x),h(x)的解析式
是 定义在实数上的任意函数f(X)都可以表示成一个奇函数g(X)与一个偶函数h(X)之和，如果f(X)=lg(10的x次方+1),x属于R，
求g(x),h(x)的解析式

Answer 1

f(x)=g(x)+h(x)=lg(10^x+1)
即:g(-x)+h(-x)=lg(10^(-x)+1)......(1)
奇函数得:g(-x)=-g(x)
偶函数得:h(-x)=h(x)
所以有:-g(x)+h(x)=lg(10^(-x)+1)......(2)
(1)-(2)得:
2g(x)=lg(10^x+1)-lg(10^(-x)+1)=lg[(10^x+1)/(10^(-x)+1)]=lg[10^x*(10^x+1)/(1+10^x)]=lg10^x=x
即g(x)=x/2
(1)+(2)得:
2h(x)=lg(10^x+1)+lg(10^(-x)+1))=lg[(10^x+1)(10^(-x)+1)]=lg[1+10^x+10^(-x)+1]
即h(x)=1/2 lg(2+10^x+10^(-x))