Question

初高中数学衔接问题 因式类

已知：a、b、c、d为正有理数，且满足（a²）²+（b²）²+（c²）²+（d²）²=4abcd，求证，a=b=c=d

上标在这怎么打出来

Answer 1

解：本人用配方法即可搞定此题。
由已知，添项得
a^4+b^4-2a²b²+2a²b²+c^4+d^4-2c²d²+2c²d²-4abcd=0，
即得
(a²-b²)²+(c²-d²)²+2(a²b²-2abcd+c²d²)=0
又得
(a²-b²)²+(c²-d²)²+2(ab-cd)²=0
由于以上三项都是平方式，即都是非负数，所以只能是
(a²-b²)²=0，可得a²-b²=0，再得a=b；
(c²-d²)²=0，可得c²-d²=0，再得c=d；
2(ab-cd)²=0，可得ab=cd，以上的代入得a²=c²，a=c，
从而得出：a=b=c=d。

Answer 2

a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
a^4-2a²b²+b^4+c^4-2c²d²+d^4=4abcd-2a²b²-2c²d²
(a²-b²)²+(c²-d²)²=-2(ab-cd)²
(a²-b²)²+(c²-d²)²+2(ab-cd)²=0
平方相加等于0，所以每一个平方都等于0
(a²-b²)²=(c²-d²)²=(ab-cd)²=0
a²-b²=c²-d²=ab-cd=0
a,b,c,d都大于0
a²=b²,所以a=b
c²=d²,所以c=d
ab-cd=0
ab=cd
把a=b和c=d代入
b²=d²,b=d
所以a=b=c=d

先把输入法调为英文状态
然后按住Alt键
在右边小键盘输入178，就是²
若输入179，则是立方，³

Answer 3

a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0

a^4+b^4-2a^2b^2+c^4+d^4-2c^2d^2-4abcd+2a^2b^2+2c^2d^2=0

(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0

a^2-b^2=0
c^2-d^2=0
ab-cd=0

因为a、b、c、d为正有理数
a=b=c=d

祝你学习愉快

Answer 4

（a²）²+（b²）²+（c²）²+（d²）² 大于等于 （2a²b²)+（2c²d²), 当a=b,c=d 取等号。
（2a²b²)+（2c²d²)=2（ab)²+2（cd)²大于等于 4abcd， 当ab=cd时取等号。
（a²）²+（b²）²+（c²）²+（d²）²=4abcd，所以a=b,c=d ，ab=cd， 所以
a=b=c=d

其实就是 公式a²+b²大于等于2ab 的应用