Question

x∈(0,π/4),求y=sinx+,y=cosx与y轴围成的图形绕x轴的旋转体积

Answer 1

由于 y = sin(x) 和 y = cos(x) 与 y 轴围成的图形是一个矩形，因此它们绕 x 轴旋转所得到的旋转体积可以分解为两个圆柱体的体积之和。
设圆柱体的高为 h，半径为 r，则圆柱体的体积为 V = πr^2h。
对于 y = sin(x)，它与 y 轴围成的矩形的宽为 sin(x)，高为 cos(x)，因此它绕 x 轴旋转所得到的圆柱体的半径为 sin(x)，高为 cos(x)，体积为：
V1 = π(sin(x))^2cos(x)dx
对于 y = cos(x)，它与 y 轴围成的矩形的宽为 cos(x)，高为 sin(x)，因此它绕 x 轴旋转所得到的圆柱体的半径为 cos(x)，高为 sin(x)，体积为：
V2 = π(cos(x))^2sin(x)dx
因此，y = sin(x) 和 y = cos(x) 与 y 轴围成的图形绕 x 轴旋转所得到的旋转体积为：
V = V1 + V2 = π∫(0,π/4) [(sin(x))^2cos(x) + (cos(x))^2sin(x)]dx
对上式进行化简，得到：
V = π∫(0,π/4) [sin(x)cos(x)]dx
使用积分公式 ∫sin(x)cos(x)dx = (sin(x))^2/2 + C，其中 C 为常数，可以得到：
V = π[(sin(x))^2/2]∣(0,π/4) = π/8
因此，y = sin(x) 和 y = cos(x) 与 y 轴围成的图形绕 x 轴旋转所得到的旋转体积为 π/8。

Answer 2

Vx = π∫<0，π/4> [(cosx)^2 - (sinx)^2] dx
= π∫<0，π/4> cos2xdx = π[(1/2)sin2x]<0，π/4> = π/2