Question

求下列函数的积分∫x²ex²dx

Answer 1

可以使用分部积分法来求解这个积分。设 u = x, dv = xe^(x^2)dx，则有：
du/dx = 1, v = 1/2 e^(x^2)
根据分部积分公式，有：
∫x^2 e^(x^2) dx = x(1/2 e^(x^2)) - ∫(1/2 e^(x^2)) dx
化简可得：
∫x^2 e^(x^2) dx = 1/2 x e^(x^2) - 1/2 ∫e^(x^2) dx
对于后面的积分，我们可以通过变量替换来解决，设 u = x^2，则有 du/dx = 2x，dx = du/(2x)，将其代入得：
∫e^(x^2) dx = 1/2 ∫e^u * (1/x) du = 1/2 ln|x| e^u + C
回代变量并代入初值得：
∫x^2 e^(x^2) dx = 1/2 x e^(x^2) - 1/4 ln|x| e^(x^2) - 1/4 C
因此，函数的积分为 1/2 x e^(x^2) - 1/4 ln|x| e^(x^2) + C。