Question

求解电路中，t<O时电路处于稳定。t=0时开关闭合，求t>O 时的 和i（t）。

Answer 1

要求出t>0时的电流i(t)，我们需要先根据电路的特点列出电路方程，然后求解。

根据题目描述，t<0时电路处于稳定，即电路中没有变化发生，此时电路中的电流为i0。当t=2时，开关关闭合，电路变为以下电路：

由于开关关闭合，电容C会开始充电。设t=2时电容上的电压为VC(2)，则有：

VC(2) = V0 * (1 - e^(-2/(R*C)))

其中，V0为电源电压，R为电阻值，C为电容值。

根据电容的充电过程可知，电容充电时电流不断减小，因此t>0时的电流可以用以下方程表示：

i(t) = i0 * e^(-t/(R*C))

将VC(2)代入上式可得：

i(t) = i0 * e^(-t/(R*C)) + V0/R * (1 - e^(-t/(R*C)))

其中，i0为t<0时电路中的电流值。

因此，我们可以根据电路的特点和上述方程求解t>0时的电流i(t)。

Answer 2

把电路中的电容、电感、电阻分别表示为C、L、R，开关处的电压为Vs，电路中的电流为i(t)。
根据题目描述，t < 0 时电路处于稳定，所以电容上的电压为0，即VC(0-) = 0。因此，根据电容的基本公式VC(0+) = VC(0-) = 0。
在开关合并瞬间，电感L会产生反电动势VL，电容C上的电压VC开始充电，根据基尔霍夫电压定律可得：
Vs - VL - VC = 0
VL = L(di/dt)
VC = (1/C)∫i(t)dt
将上述公式代入基尔霍夫电压定律中可得：
Vs - L(di/dt) - (1/C)∫i(t)dt = 0
整理可得：
(di/dt) + (R/L)i(t) + (1/LC)∫i(t)dt = (Vs/L)
这是一个常系数线性微分方程，可以使用标准的方法求解。由于这里只需要求i(t)的和，我们可以直接使用拉普拉斯变换法求解。
对方程两边进行拉普拉斯变换可得：
sI(s) - i(0) + (R/L)I(s) + (1/LC)(1/s)I(s) = (Vs/L)(1/s)
化简可得：
I(s) = (Vs/L)/(s^2 + sR/L + 1/LC)
现在需要将I(s)进行反演，得到i(t)的表达式。可以使用部分分式分解法和拉普拉斯反演公式求解。这里直接给出结果：
i(t) = (Vs/L)exp(-Rt/2L)sin(sqrt(1/(LC) - (R/2L)^2)t)u(t)
其中，u(t)是单位阶跃函数。

Answer 3

这是一个典型的RL电路，其中R是电阻，L是电感，v(t)是电源电压，i(t)是电路中的电流。根据基尔霍夫电压定律和欧姆定律，可以列出如下微分方程：
L(di/dt) + Ri = v(t)
在t < 0时，电路处于稳定，i(t) = 0。
在t = 0时，开关关闭。此时电路中的电感L会产生一个反向电动势，即v(0-) = L(di/dt)|t=0-，同时电流i(0-) = 0。
当开关关闭后，电路中的电感L会使电流i(t)缓慢增加，同时电阻R会使电流i(t)缓慢趋近于电源电压v(t)。因此，在t > 0时，i(t)的表达式为：
i(t) = (V/R) + [i(0-) - (V/R)]*e^(-t/τ)
其中，V是电源电压，τ是电路时间常数，τ = L/R。
注：e为自然常数，约为2.71828。
因为i(0-) = 0，所以i(t)的简化表达式为：
i(t) = (V/R)*(1 - e^(-t/τ))
因此，当t > 0时，i(t)的表达式为(i表示电流)：
i(t) = (V/R)*(1 - e^(-t/(L/R)))

Answer 4

把电路中的电感和电容都看作是线性元件，可以使用拉普拉斯变换来求解电路中的电流。
根据题意，我们可以列出电路的方程：$$ L \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int_0^t i(\tau) d\tau = V_s $$
其中，$L$ 是电感的电感值，$C$ 是电容的电容值，$i(t)$ 是电流，$V_s$ 是电源电压。由于在 $t<0$ 时电路处于稳定，
所以可以得到 $i(0^-)=i(0^+)=i(0)=0$。在 $t>0$ 时，
我们可以对方程进行拉普拉斯变换：$$ L [sI(s) - i(0)] + \frac{1}{Cs}I(s) = V_s $$代入初始条件 $i(0) = 0$，
解得：$$ I(s) = \frac{V_s}{sL + \frac{1}{Cs}} $$
接下来，我们可以将 $I(s)$ 进行部分分式分解：$$ I(s) = \frac{V_s}{sL + \frac{1}{Cs}} = \frac{A}{sL} + \frac{B}{\frac{1}{Cs}} = \frac{V_s}{LC}\left(\frac{1}{s+\frac{1}{RC}}\right) $$其中，$R=\frac{L}{C}$ 是电路的时间常数。
对上式进行拉普拉斯反变换，得到：$$ i(t) = \frac{V_s}{R} e^{-\frac{t}{RC}}u(t) $$
其中，$u(t)$ 是单位阶跃函数，表示电路在 $t=0$ 时突然通电的情况。
因此，$i(t)$ 在 $t>0$ 时是一个指数函数，且指数的底数是一个小于 1 的正数，表示电路中电流的衰减。

Answer 5

一般情况下，电路稳定状态指的是恒定的、不随时间变化的状态，也就是t<O时电路已经达到了稳定状态。当开关在t=0时打开或关闭时，电路会发生瞬态过程，然后恢复到新的稳态。关键问题在于，开关打开或关闭之后，电路中各元件的状态会发生怎样的变化，需要求解电路中各元件的电流和电压变化情况。因此，需要根据具体情况进行分析和计算。