Question

求解一初中数学题

等腰直角三角形ABC，角C=90度，AC=BC=2，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，求EC+ED的最小值？答案是根号5，哪位高手会做，把过程写下来好不？

Answer 1

要求最短距离，在初中里无非是利用两点之间线段最短。而这要运用到轴对称。
做D关于AB对称于点E。所以CE=EC+ED的最小值
所以易得：三角形DBE是等腰直角三角形，三角形CBE是直角三角形。
又易得：DB=BE=1
CB=2
所以利用勾股定理得：CE=根号5
即：EC+ED的最小值=根号5

过C做CF垂直AB,交AB于F,再延长CF到G,使FG=CF,连接DG,那么DG和AB交点就是最小值的E所在位置
因为隐藏条件存在△CEF全等△GEF,有CE=EG,两点之间,直线段最短
所以EC+ED最小值是DG的长
因为D是BC边的中点
所以DC=DB
而∠B=∠GCB=45度,AB=2又根号2
CF=根号2,所以CG=2又根号2
所以AB=CG
所以△ADB全等△GDC
所以GD=AD
因为AD=根号5
所以GD=根号5
所以EC+ED最小值是根号5

Answer 2

画辅助线在补一个三角形,变成正方形,另一个角的顶点为C'

那么EC+ED=EC'+ED
D到C'距离最小当然是直线喽
下面自己动手做做了

Answer 3

作DF垂直AB，延长DF到H，使FH=DF,当E运动到F时，EC+ED=EC+EH=CH为直线，最短。
DB=1，所以DF=FH=根号2/2。HB=1；CH=根号下（BC^2+HB^2）=根号5。

Answer 4

作C关于AB的对称点C’，ACBC'形成正方形，连接C'D，C'D即为最短长度，就是根号5。
C'D与AB交与E。因为C'与C关于AB对称，所以C'E=CE。两点之间线段最短，则C'D为最短，所以该EC+ED最短。