Question

设A，B均为n阶矩阵，且A+B=AB.(1)证明A-E可逆；(2)证明AB=BA.

A.(1)证明A-E可逆；(2)证明AB=BA.

Answer 1

【答案】：证明 (1)由A+B=AB有AB-A-B+E=E从而(A-E)B-(A-E)=E即(A-E)(B-E)=E故A-E可逆且(A-E)^-1=B-E． (2)由(1)可知A-E与B-E互为逆矩阵于是由逆矩阵的定义知 (A-E)(B-E)=(B-E)(A-E)从而AB-A-B+E=BA-B-A+E．即 AB=BA．
证明(1)由A+B=AB,有AB-A-B+E=E,从而(A-E)B-(A-E)=E,即(A-E)(B-E)=E,故A-E可逆,且(A-E)-1=B-E．(2)由(1)可知,A-E与B-E互为逆矩阵,于是由逆矩阵的定义知(A-E)(B-E)=(B-E)(A-E),从而AB-A-B+E=BA-B-A+E．即AB=BA．