Question

一道高中立体几何题

侧棱长为2√3的正三棱锥V-ABC中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°,过点A作截面AEF,求截面△AEF周长的最小值.

Answer 1

设过点A的截面与PB交于D,与PC交于E,则A的截面的周长是三角形ADE的周长,将三个侧面PAB,PBC,PCA沿着PA剪开并展开成平面图形,设PA剪开后变为PA和PA',则三个侧面所展开成的平面图形是一个由三个等腰三角形PAB,PBC,PCA'构成的类似于扇形的图形,可以看出三角形ADE的周长=AD+DE+DA',其最小值是AA'的长(两点间直线最短),在三角形PAA'中,∠APA'=3*40°=120°,AP=2*根号3,所以AA'=30,即过点A的截面的周长的最小值为30

Answer 2

把三棱锥的侧面沿棱VA剪开，展平，因∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°，故∠A'VA”=120°，其中A'、A”是点A展平后的位置。VA'=VA”=VA=2√3，
∴A'A”=2VAsin60°=6，
∴△AEF周长=AE+EF+FA>=A'A”=6，当A'、E、F、A”四点共线时取等号。
∴截面△AEF周长的最小值为6.

Answer 3

周长最小值为6，展开正三棱锥既得