Question

3.求曲线 y=1/xsinx+1 的水平渐近线

Answer 1

首先，我们需要确定曲线的水平渐近线是否存在。当 �→∞x→∞ 或 �→−∞x→−∞ 时，如果函数 �=1/(�sin⁡�+1)y=1/(xsinx+1) 的值趋近于某个常数，那么这个常数就是曲线的水平渐近线。但是根据函数 �=1/(�sin⁡�+1)y=1/(xsinx+1) 的性质，我们可以发现：
当 �=��x=kπ（�k为整数）时，分母 �sin⁡�+1=0xsinx+1=0，因此函数在这些点处不存在；
当 sin⁡�=0sinx=0 时，即 �=��x=nπ（�n为整数），函数的值正无穷或负无穷。
因此，曲线 �=1/(�sin⁡�+1)y=1/(xsinx+1) 没有水平渐近线。
另外，曲线可能存在斜渐近线，如果存在，则必须满足以下条件：
lim⁡�→∞(�−��+��)=0lim(y−xax+b)=0
其中，�a 和 �b 是斜渐近线的参数。将函数 �=1/(�sin⁡�+1)y=1/(xsinx+1) 带入上式，化简得：
lim⁡�→∞(1�sin⁡�+1−��+��)=0lim(xsinx+11−xax+b)=0
移项并通分，得到：
lim⁡�→∞��2+(�−1)��(�sin⁡�+1)=0limx(xsinx+1)ax2+(b−1)x=0
显然，当 �=0a=0 时，上式成立。因此，曲线 �=1/(�sin⁡�+1)y=1/(xsinx+1) 的斜渐近线为 �=�/�y=b/x。我们只需确定参数 �b 即可。
当 �→∞x→∞ 时，1/(�sin⁡�+1)≈1/(�sin⁡�)1/(xsinx+1)≈1/(xsinx)。因此：
lim⁡�→∞�=lim⁡�→∞1�sin⁡�=0limy=limxsinx1=0
将 �=�/�y=b/x 带入上式，得到：
lim⁡�→∞��2=0limx2b=0
因此，�=0b=0。所以，曲线 �=1/(�sin⁡�+1)y=1/(xsinx+1) 的斜渐近线为 �=0y=0。