Question

求下列级数的敛散性

Answer 1

其中（3）（4）（5）（7）（10）用达朗贝尔比值判别法，（6）（8）用级数收敛的必要条件，（9）用比较判别法
（3）lim(n->∞) [2^n/(n+1)!]*[n!/2^(n-1)]=lim(n->∞) 2/(n+1)=0<1，级数收敛
（4）lim(n->∞) [(n+1)!/(n+1)^(n+1)]*(n^n/n!)=lim(n->∞) [n/(n+1)]^(n+1)=lim(n->∞) [1-1/(n+1)]^(n+1)=1/e<1，级数收敛
（5）lim(n->∞) [(n+1)^2/3^(n+1)]*(3^n/n^2)=lim(n->∞) (1/3)*(1+1/n)^2=1/3<1，级数收敛
（6）lim(n->∞) [n/(n+1)]^n=lim(n->∞) [1-1/(n+1)]^n=1/e>0，级数发散
（7）lim(n->∞) {2^(n+1)*sin[1/3^(n+1)]}/[2^n*sin(1/3^n)]=lim(n->∞) 2*[1/3^(n+1)]/(1/3^n)=2/3<1，级数收敛
（8）lim(n->∞) 3^n/(1+e^n)=lim(n->∞) (3/e)^n/[(1/e)^n+1]=+∞，级数发散
（9）1/√[n(n^2+1)]<1/√(n^3)，且∑1/√(n^3)收敛，所以原级数收敛
（10）lim(n->∞) [(2n+1)/2^(n+1)]*[2^n/(2n-1)]=lim(n->∞) (1/2)*(2n+1)/(2n-1)=1/2<1，级数收敛