（1）解：因为∠NMB=∠COB=90°，∠MBN=∠OBC
所以△MBN∽△OBC，MN/OC=BM/BO
因为∠ABC=45°，AM⊥BC
所以△AMB是等腰直角三角形
因为AB=4，所以AM=BM=AB/√2=2√2
因为BC=AB=4，所以MC=BC-BM=4-2√2
Rt△AMC中，AC^2=AM^2+MC^2=(2√2)^2+(4-2√2)^2=32-16√2
OC=AC/2=2√(2-√2)
Rt△BOC中，BO^2=BC^2-OC^2=4^2-[2√(2-√2)]^2=8+4√2
BO=2√(2+√2)
所以MN=BM*OC/BO=[2√2*2√(2-√2)]/2√(2+√2)=4-2√2
AN=AM-MN=2√2-(4-2√2)=4√2-4
（2）证明：不妨令AB=4，则由题（1）结论
因为△MBN∽△OBC
所以BN/BC=BM/BO=2√2/2√(2+√2)=√2/√(2+√2)=√(2-√2)
BN=√(2-√2)*BC=4√(2-√2)
ON=BO-BN=2√(2+√2)-4√(2-√2)
因为OC=2√(2-√2)
所以(√2/2)*BN=2√(4-2√2)，ON+OC=2[√(2+√2)-√(2-√2)]
因为[√(2+√2)-√(2-√2)]^2=2+√2+2-√2-2√2=4-2√2
所以(√2/2)*BN=ON+OC
（3）这是将军饮马模型
解：将线段AC沿着直线CE翻折，形成线段CF，点F是点A的对称点，过点F作FR⊥AC于R，交CE于G，连接AF交直线CE于点E，注意：此处点E不是题目中AB上的点
因为点A是固定的，所以点F作为点A的对称点，也是固定的
点F到线段AC的距离的最小值，就是垂线FR
因为GA=GF
所以RG+GA=RG+GF
RG+GA的最小值=RG+GF的最小值=FR
因为Rt△FRC中，∠FCR=2*∠ACE=2*15°=30°，FC=AC=4
所以FR=FC/2=2，RC=FR*√3=2√3，RG+GA=FR=2
Rt△ARG中，AR=AC-RC=4-2√3，RG+GA=2
所以RG^2=GA^2-AR^2=(2-RG)^2-(4-2√3)^2
RG=4√3-6，GA=2-RG=8-4√3
S四边形AEGR=S△AEC-S△CRG，注意：这里的点E是原题中的E，即线段AB上的点E
=(1/2)*CE*(AF/2)-(1/2)*RG*RC
=(1/2)*AC*sin∠EAC/sin∠AEC*AC*sin∠ECA-(1/2)*(4√3-6)*2√3
=(1/2)*4*sin67.5°/sin97.5°*4*sin15°-12+6√3
=8*sin(97.5°-30°)/sin97.5°*(√6-√2)/4-12+6√3
=2(√6-√2)*[√3/2-(1/2)*cot97.5°]-12+6√3
=(√6-√2)*(√3+tan7.5°)-12+6√3
=3√2-√6-12+6√3+(√6-√2)tan(15°/2)
=3√2-√6-12+6√3+(√6-√2)*sin15°/(1+cos15°)
=3√2-√6-12+6√3+(√6-√2)*[(√6-√2)/4]/[1+(√6+√2)/4]
=3√2-√6-12+6√3+[(√6-√2)^2]/(4+√6+√2)
=3√2-√6-12+6√3+(2-√3)(4+√6-√2)/(5+2√6)
=3√2-√6-12+6√3+(8+3√6-5√2-4√3)(5-2√6)
=3√2-√6-12+6√3+4-√6-√2
=2√2+6√3-2√6-8
