Question

为什么三角形内切圆半径公式是r=2√

Answer 1

对于一个直角三角形，即一个角为90度的三角形，其内切圆半径公式推导如下：

假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边（即假设为直角的对边）为c。

• 首先，根据勾股定理可知：a^2 + b^2 = c^2。

• 内切圆与直角三角形的三边都相切，因此从内切圆心到三条边的垂直距离等于内切圆的半径r。

• 设内切圆与直角边a、b和斜边c的切点分别为A、B和C，内切圆心为O。

• 可以得到两个直角三角形AOB和AOC，其中AO是半径r，BO和CO分别是两条直角边a和b与斜边c的线段。

根据相似三角形的性质，可以得出以下比例关系：AO/AB = BO/BA = CO/CA。

• 由于AO = r，并且AO/AB = AO/AC，所以r/AB = r/AC。

• 进一步化简得：AB = AC。

• 根据勾股定理可知：c^2 = a^2 + b^2 = 2AB^2，所以 AB = AC = c/√2。

• 将AB代入r/AB = r/AC的比例关系中得到：r/AB = r/(c/√2)。

• 化简上述式子得到内切圆半径r的公式：r = c/2√2。

因此，对于任意直角三角形，其内切圆的半径r等于斜边长c除以2√2。