Question

数列问题，急在线等

已知数列{an}an≥0,a1=0,a(n+1)^2+a(n+1)-1=an^2,记Sn=a1+a2+...+an,Tn=i/(1+a1)+1/(1+a1)(1+a2)+…+1/(1+a1)(1+a2)…(1+an)求证当n是正整数是,(1)an<a(n+1);(2)Sn.>n-2;(3)Tn<3
请给出过程

Answer 1

1、多年以前学的 归纳法：假设ak-1<ak，由题可知
a(k+1)^2+a(k+1)-1=ak^2=[a(k+1)+1/2]^2-5/4;
ak^2+ak-1=a(k-1)^2=[ak+1/2]^2-5/4;
两式相减得：ak^2-a(k-1)^2=[a(k+1)+1/2]^2-[ak+1/2]^2
即{[a(k+1)+1/2]+[ak+1/2]}*{[a(k+1)+1/2]-[ak+1/2]}>0
因为 k为正整数，即大于等于1，所以ak>0,a(k+1)>0，且假设了ak>a(k-1)
所以由上式可得：{[a(k+1)+1/2]+[ak+1/2]}>0,{[a(k+1)+1/2]-[ak+1/2]}>0,所以a(k+1)-ak>0
即ak<a(k+1) 所以 an<a(n+1)

2、由1的解答可知道：原等式化成 [a(n+1)+1/2]^2-[an+1/2]^2=1-an
{[a(n+1)+1/2]+[an+1/2]}*{[a(n+1)+1/2]-[an+1/2]}=1-an>0
即 0<an<1
原等式为：a(n+1)^2+a(n+1)-1=an^2 将n从1开始带入，再将所有式相加得：a2^2+a3^2+a4^2+...+an^2+a(n+1)^2+[a2+a3+a4+...+an+a(n+1)]-n=a1^2+a2^2+a3^2+...a(n-1)^2+an^2
化简得a(n+1)^2+[a2+a3+a4+...+an+a(n+1)]=a1^2+n
Sn=n+a(n+1)-a(n+1)^2
因0<a(n+1)<1
所以0<a(n+1)-a(n+1)^2<2
所以 Sn>n-2

Answer 2

(1)
a(n+1)^2+a(n+1)-1=an^2
an^2+an-1=a(n-1)^2
两式相减：
[a(n+1)+an+1][a(n+1)-an]=[an-a(n-1)][an+a(n-1)]
[a(n+1)-an]/[an-a(n-1)]=[an+a(n-1)]/[a(n+1)+an+1]＞0
所以a(n+1)-an＞0且an-a(n-1)＞0或a(n+1)-an＜0且an-a(n-1)＜0
即a(n+1)＞an＞a(n-1)＞a1=0或a(n+1)＜an＜a(n-1)＜a1=0
因an≥0，所以a(n+1)＞an。

Answer 3

（1）
要证an<a(n+1)，即证an^2<a(n+1)^2，即证an<1
可采用反证法，设有一项（且为最开始一项）大于1，不妨设为a(n+1)。因为a(n+1)^2+a(n+1)-1=an^2，所以左边一定大于1，而右边一定小于1，再论证一下当等于1时，必然有所有从第一项开始就等于1，因此矛盾，得出恒小于1，即证。

Answer 4

设等差数列公差为t，等比数列公比为q
a2=a1+t=1+t
b2=b1*q=q
a2b2=(1+t)q=1
所以（1+t）=1/q
s3=(a1+a3)*3/2=(a1+a1+2t)*3/2=3(1+t)
t3=b1(1-q三次方)/(1-q)=(1-q三次方)/(1-q)=(1-q)(1+q+q平方)/(1-q)=1+q+q平方
s3t3=3(1+a)(1+q+q平方)=3(1+q+q平方)/q=13
解上面得方程得q=1/3或q=3
当q=1/3时，t=2
通项公式为
An=n平方
Bn=[3-1/(3的n-1次方)]/2
当q=3时，
t=-2/3
通项公式为
An=（4n-n的平方）/3
Bn=(3的n次方-1)/2