Question

三角形内角和为什么是180度？

Answer 1

三角形内角和为180度是基于欧几里得的平面几何公设（Euclidean geometry axiom）。
在欧氏几何中，一个直线段可以无限地延伸，并且两条直线段之间只有一个点。基于这些公设，可以证明三角形的内角和等于180度：
假设在三角形ABC中，角A、角B和角C的度数分别为a、b和c，则有：
a + b + c = 180度
将三角形ABC所在平面延伸为一条直线L。
连接点A和L上的一点D，将线段AD看作直线L上的一条射线。
在BD上取一点E，使BE与BC重合。
根据欧氏公设，由点E向直线L引一条平行线。
在平行线与BD的交点处，连接点C和L上的交点F，以及点B和L上的交点G。
观察四边形ABFD和CGEF。
通过步骤5，已知AB∥FE、GC∥DF；又因为BC=BE，所以CF=ED。因此，四边形ABFD和CGEF是平行四边形，对角线互相平分。
∴ AB = FD、DB = FC、GC = FE、GE = DF。
观察三角形ADF和BCE。
由步骤5，已知AD∥BE；又因为AB=FD、DB=FC，所以三角形ADF和BCE是相似的。
∴ ∠A = ∠EBC、∠DFA = ∠CBF。
观察三角形AGF和CEF。
由步骤5，已知AG∥EF；又因为GC=FE、GE=DF，所以三角形AGF和CEF是相似的。
∴ ∠GAF = ∠EFC、∠FGA = ∠FCE。
由以上可得：
∠A + ∠B = ∠EBC + ∠CBF + ∠GAF + ∠FCE
= (∠EBC + ∠FCE) + (∠CBF + ∠GAF)
= ∠AFC + ∠CFA
= 180度 - ∠C
综上所述，三角形ABC的内角和等于180度。

Answer 2

三角形内角和为180°，这是《几何原本》中第五公设的推论；如果离开了平面几何，比如在一些曲面上，三角形的内角和是可以不等于180°的。
我们有很多方法，通过测量的方法证明平面内三角形内角和为180°。但是如果不使用欧几里得第五公设或者是第五公设，我们机几乎无法证明三角形内角和为180°。

Answer 3

三角形任何一个角，在角的点画一条平行于这个角对边的平行线
那么另外两个角就是这个平行线的两个夹角，也就是三角形的另外两个夹角
一条直线的角度是180°
也就是三角形的内角和为180°