Question

中学函数的学习流程

Answer 1

摘要：函数作为中学数学的核心内容之一，历来是中学生感到难学的内容。函数学习困难的因素主要有三个方面：函数本身的复杂性；中学生思维发展水平；初、高中函数衔接问题。《课程标准》对函数的教学建议中，提出直接由对应通过具体实例引入（不必先讲映射），这种淡化形式的处理方法，提供了整体改革函数课程设计的契机。建议函数课程设计：1.将函数思想贯穿于课程体系之中；2.注意函数课程设计的一致性与侧重性；3.加强函数与相关学科以及实际生活的联系；4.重视计算机（器）等现代教育技术的作用。

自20世纪初，数学教育改革运动提出“以函数为纲”的口号以来，函数一直都被确立为数学教学的核心。这不仅因为它是整个数学体系的重要基础，而且因为函数思想方法已成为现代数学的主要思想方法之一，对数学课程的设计可以起到统领的作用。然而，函数历来也是中学生感到最难学的内容，若干研究和教学实践表明函数的学习困难甚至伴随了许多中学生的整个数学学习过程。本文就中学生函数的学习困难作出分析，并提出函数的课程设计建议。

一、函数的学习困难分析

在我国面向21世纪的基础教育课程改革中，数学课程的设计凸显了“函数”这一主线，并采用了螺旋的编排方式，但函数仍然是中学生感到最难学的内容，造成函数学习困难有以下三方面的因素。

（一）函数本身的复杂性

函数在中学数学中最具复杂性，这是造成学生学习困难的主要因素。函数包含两个本质属性（定义域与对应法则）和较多的非本质属性（如值域、自变量、因变量、集合等）；初中函数“变量说”定义中的文字“y是x的函数，记作y=f(x)”属于蕴涵式的表述且符号抽象；函数涉及“变量”，而“变量”的本质是辩证法在数学中的运用；函数还具有多种表示法，如解析法、列表法、图象法、箭头法；函数与其他内容有错综复杂的联系；等等。函数的这些复杂性决定了函数学习困难的必然性，其学习困难主要表现在以下几个方面。

1.函数变量理解的困难

变量是数学中一切抽象事物的建筑材料，但是让学生理解变量的内涵并不容易。笔者曾对学习过函数的300个初三学生作过一个调查：请指出圆的周长与半径的函数关系式l=2π·r中的变量。调查结果是：有83个学生认为l、π、r都是变量（追问为什么，答：凡是字母都可以变）；有97个学生认为只有r 是变量，（追问为什么，答：l是r的函数，π是圆周率，所以只有r 是变量）；有59个学生认为只有π是变量（追问为什么，答：l是自变量、r是因变量，只剩下π一个字母可以变了）；有57个学生认为l、r是变量；有4个学生没有回答。大部分学生不能正确地理解变量，一方面有教学的原因：在教学实践中，教师常常对学生理解变量的困难估计不足，另一方面纵观中学数学内容，在函数学习之前，基本上是常量数学时期的内容，学生对变量的理解困难也是很正常的。

2.函数符号抽象的困难

接受函数符号的抽象表示也是一个难点。在某中学，教师讲完函数的定义后，给出了通常的表示法y=f(x)，下课后竟有多个学生问教师：f和x是不是乘的关系？学生虽然学习了函数的定义，有的甚至能背诵，但没有理解函数的真实意义。有教师认为教学时不要直接说“通常我们把y是x的函数表示为：y=f(x)”，而可以说“f代表自变量和因变量之间的对应关系，对于定义域内任意的x（这时在黑板上写下‘x’），通过对应关系f（在黑板上写出‘f（）’，刚才的x被括号括在内），对应出唯一的一个y（在黑板上刚才的式子前写下‘y=’）”，这样就写出了表达式y=f(x)。这一改进可以避免学生产生错觉。

笔者曾经作过调查，超过90%的中学生弄不清究竟函数是指f，是f(x)，还是y=f(x)。许多学生高中毕业了也没有真正弄明白y=f(x)到底是什么—原因是符号f具有“隐蔽性”，其具体内容不能从符号上得到体现—中学生的思维水平还缺乏足够的为f建立起具体内容的经验。

3.函数图象运用的困难

数与形是数学的两方面，有了直角坐标系以后数与形统一了，因此用图象方法研究函数的各种性质似乎很自然。但对学生来说并非如此。虽然大多数学生能够作简单的图象，但是他们常常把函数图象看成为函数之外的东西，没有把它当成函数的一个有机组成部分。如，学生很不习惯把函数变换f(x)±k,f(±kx),
|f(x)|,f(|x|),f2(x),等与图形变换（如轴对称、中心对称）联系起来。要使中学生把函数的图象作为函数的一个有机组成部分并不容易，实际上，在函数学习之前，学生对数与形的学习基本上是分开进行的，学习中只需要对数或形进行单一的思维即可。函数要求思维在符号语言与图形语言之间进行灵活转换，而中学生形象化意识（数形结合思想）的形成需要较长的过程。

（二）中学生思维发展水平

函数的学习困难与中学生思维发展水平有关，〔1〕中学生数学思维发展水平的制约是其内在因素。

要求学生根据函数可能出现的一种情形，在思维中构建一个过程来反映“对定义域中每一个特定值都得到一个函数值”这一动态变化过程，同时，还要把函数的三个成分：对应法则、定义域和值域凝聚成一个对象来把握，像这种整体地、动态地、具体地认识对象，同时还要把动态过程转化为静态对象，能够进行静止与运动、离散与连续的相互转化，只有达到辩证思维水平，才能做到。而心理学研究表明：〔2〕初中生的思维发展水平是从具体形象思维逐步过渡到形式逻辑思维水平，高中生在继续完善形式逻辑思维发展的前提下，辩证思维发展开始逐渐占主流。但辩证思维是人类思维发展的最高形式，中学生的辩证思维基本上处于形成与发展的早期阶段。这样一方面是中学生的辩证思维发展很不成熟，思维水平基本上停留在形式逻辑思维的范畴，只能局部地、静止地、割裂地认识事物；另一方面函数的特征是发展的、变化的、与众多数学知识相互联系的，属于辩证概念。这个矛盾构成了函数学习中一切认知障碍的根源。

（三）初、高中函数衔接问题

我国历来初中与高中对函数分别采用“变量说”与“对应说”的课程设计是造成函数学习困难的外在因素。这样设计有合理的一面，但是另一方面容易造成学生认知衔接上的困难。

首先，要向学生说明为什么要重新刻画函数，以及解决“变量说”与“对应说”的相容性。当然单纯解决这个问题并不难，但由于“变量说”具有的先天缺陷〔3〕会随着初中函数的教学植入学生的思维，造成先入为主的误导，同时与函数概念本身的复杂性搅合在一起，必然会增加衔接的困难。在调查中我们发现：“变量说”中把y表述为x的函数，常常使学生形成一个带普遍性的错误：y就是函数，因而在高中阶段很难接受对应关系f是函数的表述。学生的思维在“变量说”向“对应说”的转化过程中，摒弃“y依x变（x是自变量，y是因变量）”的说法，舍去“变化”这一非本质的东西，突出“对应”的思想，需要产生较大的飞跃。这必然增加高一函数学习的不适应性。

其次，“变量说”是建立在变量的基础上的。所谓“量”是指有量可度的对象，如长度、距离、时间等等，即研究的范围限制在实数集。这样既影响将函数向更高一级抽象的迁移，也妨碍学生将函数思想运用于各种不同的研究对象。

再次，虽然“变量说”在某些场合有实用的价值，但实际上在初中学生的生活中，“变量说”不一定比“对应说”来得自然、实用。因为即使学生凭借生活经验容易理解生活中许多与“对应”有关的问题，对“变量”的理解也不那么容易。进入高中，函数教学的重心是追求形式化，较少关注实际问题。这也许是大部分中学生在学习了函数后不能将其运用于解决实际问题的缘由。

二、函数的课程设计建议

目前，认知心理学关于数学学习的理论探讨还处于初级阶段，能够用来较好地解释函数学习的理论还没有较成熟的实践支持。因此对函数学习困难的研究一方面需要在教学实践中深入探索其学习过程的心理机制，构建其教与学的策略，另一方面笔者认为改革函数的课程设计不仅可以排除函数学习困难的外在因素，也可以提高数学教学质量，培养学生“用数学”的意识和探索、创新的能力。

（一）将函数思想贯穿于课程体系之中

所谓函数思想是指运用事物之间的一种特殊对应关系来解决问题的思想方法。它贯穿于数学理论和实际问题的许多场合，是有效地表达、处理、交流和传递信息、探讨事物发展规律、预测事物发展方向的工具。

函数关系广泛存在于学生的数学课程之中。如：自然数、有理数、实数等与数轴上的点各自的对应关系；代数式的运算、各种运算法则以及恒等变形、方程、不等式等都可以归结于函数关系；几何中的对称、相似、平移、旋转变换等都是从一个图形集到另一个图形集的对应关系；各种几何图形的大小与周长、面积、体积的关系都可以归结于函数关系。诸如数学应用题的“行程问题”“流程问题”“比例问题”“价值问题”“追击问题”等等都可以用函数思想解决。

总之，将函数思想作为高中课程体系的灵魂可以达到高层次的和谐与统一。这样也更有利于教师高屋建瓴地提挈整个教材进行再创造，有助于帮助学生形成良好的认知结构，培养学生的数学能力和解决问题的能力，提高数学教学质量。

（二）注意函数课程设计的一致性与侧重性

我国中学数学新课程对函数课程设计仍然分为两个阶段，第一个阶段在义务教育的第三学段（初中），在相应的《课程标准》〔4〕中，仅提出了几条学习函数的具体目标，似乎是给教材编写留下了更大的空间，然而几乎所有初中教材都采用了“变量说”。第二阶段安排在高中一年级，在相应的《课程标准》中，明确提出“对应说”的要求“用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用”，并在教学说明与建议中指出：“教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质。函数概念的引入一般有两种方法，一种方法是先学习映射，再学习函数；另一种方法是通过具体实例，体会数集之间的一种特殊的对应关系，即函数。”并建议“采用后一种方式”。在《课程标准》的引领下，已有高中新课程实验教材采用了后一种方式。笔者认为《课程标准》对函数的教学建议中，提倡不必先讲映射，直接由对应通过具体实例引入，这种淡化形式的处理提供了整体改革函数课程设计的契机。

在数学课程改革的国际比较与交流中，我们发现初中与高中分别采用“变量说”与“对应说”的课程设计已不多见，发达国家一般采用淡化形式的处理方式，通过具体实例较早渗透对应思想。〔5〕比如，法国的数学课程，小学四、五年级就要求学生认识与使用在小数集上的数值对应的函数关系以及它们的逆对应；六年级要求用函数对应关系的图表来描述情景；七~九年级用图表、解析式等多种方式表示函数以及处理问题，但不给出函数的严格定义。进入高中阶段，实行分科教学，涉及自然科学的数学课程中才注重函数形式化的教学，并作为函数教学的深入与延伸，微积分列入高中阶段的数学课程。日本的数学课程也是从小学四年级就接触函数对应关系的初步概念，函数课程的整体设计与法国类似。美国的数学课程，五~八年级课程标准的中心议题是研究模式与函数，重点是函数的探索，要求学生认识、描绘以及概括模式，并建立数学模型来论断，解释真实世界中的现象。在九年级以上的各类代数课本中，都首先定义“关系”，再将函数定义为一种特殊的关系〔5〕。

从发达国家关于函数的课程设计启示我们在进行函数课程整体设计时，应淡化形式，采取“早”与“实”的策略，并注意函数本质的一致性与学习阶段的侧重性。

（三）加强函数与相关学科以及实际生活的联系

函数关系不仅广泛存在于学生的数学课程之中，还与其他学科以及学生的实际生活有密切的关系。如：物理学中的自由落体运动、加热过程中的温度，生物学中的细胞繁殖速度等等与时间的关系，经济学的生产成本的核算、生产工效的提高，等等大多数问题都可以归结为函数关系。函数关系还与学生的实际生活息息相关，如，身高、体重等与年龄的对应关系，电话费、水电费、出租车费与用时的关系，银行利息与存款时间的关系，等等都是函数关系。

我们生活空间中的各种事物都处在相互联系、相互制约的动态平衡中，这是客观存在的普遍规律。在函数的课程设计中，应尽量挖掘与其他学科的联系和使用学生熟悉的、有现实背景的题材，突出函数思想工具性的功能，充分发挥函数思想对解决实际问题的作用，鼓励和组织学生进行调查和研究，学会运用所学的函数知识解决实际问题，增强学生学习函数的兴趣和信心。

（四）重视计算机（器）等现代教育技术的作用

在函数课程设计中，重视计算机（器）等现代教育技术的作用，不仅可以大大增强直观性，提高学生的学习兴趣和教学效率，而且有利于改善长期以来函数教学题材和方法的沉闷与封闭状态。这些作用是巨大的，也是多方面的，例如，通过在计算机、图形计算器上生成各种初等函数的图象，对比作出解释，以加深对函数及其性质的理解；利用计算技术让学生考察各种类型函数的性态，包括正、逆变换以及当函数解析式中参数发生变化时，函数图象的变化规律，通过静与动的不同方式，宏观与微观的不同视角，尤其是在数学事实与其他学科、现实背景的紧密联系中，更深入全面地理解函数的内涵实质；还可以借助计算机（器）进行实验、猜测、探索的数学发现活动，实现“数学教学是数学活动的教学”，实现函数学习的“再创造”活动，让学生亲身经历运用函数知识建立模型以及探索规律的过程，培养其科学探究和创新能力。

Answer 2

应该来说，最基本的函数是正比例的函数即一次函数。

接下来的话是反比例函数和二次函数。初中所学。

高中的必修一中的函数一章，有指数函数，对数函数，幂函数 （二次函数为重点），三角函数，反三角函数，数列（特殊的函数，定义为正整数的），正太分步（概率里面的，有的省有学），解析几何（椭圆，双曲线，抛物线）

Answer 3

函数解析试：Y=KX+B