Question

a²+3c²=b²+2acsinB.+求c/a的最大值

Answer 1

根据条件及余弦定理，有
a²＋3c²＝b²＋2acsinB
＝c²＋a²－2cacosB＋2acsinB，
所以 c/a＝sinB－cosB
＝√2sin(B－π/4)
由 0＜B＜π 得 －π/4＜B－π/4＜3π/4，
所以 －√2 / 2＜sin(B－π/4)≤1，
由此得 c/a∈(0，√2] ，
所以，c/a 最大值为 √2 。

Answer 2

首先根据正弦定理得：
b/sinB = 2c/sinB
即 b = 2c·sinB
将其代入原式得：
a² + 3c² = (2c·sinB)² + 2ac·sinB
化简得：
3c² - 4ac·sinB = 0
所以，
c/a的最大值等于 sinB/3。
当 sinB/3=1时，c/a取到最大值。因此，
c/a = 1/（sinB/3） ≤ 1/(1/3) = 3
即 c/a的最大值为3，当且仅当B=π/2，且a=√6c时取到最大值。