Question

已知矩阵A的特征值为k，求A的平方的特征值。

Answer 1

题：已知矩阵A的特征值为k，求A的平方的特征值。
解：由以下命题3知，上题答案为k^2.

以下摘自我的某个答题，未加改动。
命题3：（证明见后）
若方阵A有特征值k, 对应于特征向量ξ，当f(A)为A的幂级数(允许负幂和形式幂级数)时，f(A)的有对应于ξ的特征值f(k).

注释：以下命题1，2是为证明命题3。
命题1：k为矩阵A的非零特征值，则k的负一次幂是A逆的特征值对吗？
答：在前提A可逆之下，此命题成立。否则，视A逆为广义逆，估计也成立，我未加严格论证。
我们这里设A可逆。
命题1证明如下：
设方阵A有特征值k, 对应于特征向量ξ，即有Aξ=kξ，故Eξ=A^(-1)*kξ，故A^(-1)*ξ=1/k * ξ
命题一得证。

命题2：方阵A有特征值k, 对应于特征向量ξ，f(A)是关于A的多项式，则：
f(A)的有对应于ξ的特征值f(k).
命题2之证明：设A的特征值k对应于特征向量ξ，即有Aξ=kξ
故AAξ=kAξ=k*kξ，递推得 A^nξ=k^nξ
同理 f(A)ξ=f(k)ξ。得征。

依命题1，命题2，有命题3：
若方阵A有特征值k, 对应于特征向量ξ，当f(A)为A的幂级数(允许负幂和形式幂级数)时，f(A)的有对应于ξ的特征值f(k).