当x趋于正无穷大时,1/ x的极限是多少?
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当我们计算 (1 + 1/x)^x 的极限时,我们可以使用极限的性质和一些数学技巧来求解。
首先,我们可以注意到当 x 趋近于正无穷大时,1/x 趋近于 0。这样,我们可以将极限表达式转化为以下形式:
lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = lim(x→∞) [(1 + 1/x)^(1/x)]^x
现在,我们可以应用指数函数的极限性质,即 lim(y→0) (1 + y)^(1/y) = e,其中 e 是自然对数的底数。
将 y = 1/x,我们可以将极限表达式进一步转化为:
lim(x→∞) [(1 + 1/x)^(1/x)]^x = e^lim(x→∞) x * (1/x)
由于 e^0 = 1,lim(x→∞) x * (1/x) = lim(x→∞) 1 = 1。
因此,最终得到:
lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e^1 = e
所以,当 x 趋近于正无穷大时,(1 + 1/x)^x 的极限是 e,即 2.71828...(自然对数的底数)。
首先,我们可以注意到当 x 趋近于正无穷大时,1/x 趋近于 0。这样,我们可以将极限表达式转化为以下形式:
lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = lim(x→∞) [(1 + 1/x)^(1/x)]^x
现在,我们可以应用指数函数的极限性质,即 lim(y→0) (1 + y)^(1/y) = e,其中 e 是自然对数的底数。
将 y = 1/x,我们可以将极限表达式进一步转化为:
lim(x→∞) [(1 + 1/x)^(1/x)]^x = e^lim(x→∞) x * (1/x)
由于 e^0 = 1,lim(x→∞) x * (1/x) = lim(x→∞) 1 = 1。
因此,最终得到:
lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e^1 = e
所以,当 x 趋近于正无穷大时,(1 + 1/x)^x 的极限是 e,即 2.71828...(自然对数的底数)。
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