∫xf(x) dx是什么意思?

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云剖N
2023-08-07 · TA获得超过183个赞
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这里的∫xf(x)dx表示对函数f(x)与x的乘积进行积分运算。要回答这个问题,需要了解具体的函数f(x)的表达式或特性。

1. 知识点定义来源和讲解:积分是微积分中的一个重要概念,表示函数与自变量之间的面积或曲线下的累积。在这个问题中,∫xf(x)dx表示对函数f(x)与x的乘积进行积分操作。

2. 知识点的运用:对于具体的函数f(x),我们可以根据积分的性质和相关技巧来求解积分。常见的积分方法包括换元积分法、分部积分法、定积分等。

3. 知识点例题讲解:以下是一个求解∫xf(x)dx的例题。

例题:求解∫x³dx。

解答:对于函数f(x) = x³,我们需要对xf(x)进行积分。

根据积分的性质,我们可以将x³写成x的幂函数的形式,即x³ = x·x²。然后,我们可以使用分部积分法来求解这个积分。

分部积分法将∫u·v dx转化为u·∫v dx - ∫(u'·∫v dx)dx的形式,其中u和v分别是两个可导函数,u'是u的导数。

令u = x,dv = x² dx,那么du = dx,v = ∫x² dx = (1/3)x³。

根据分部积分法,我们可以得到:

∫x³ dx = x·(1/3)x³ - ∫(1/3)x³ dx

= (1/3)x⁴ - (1/3)∫x³ dx

将∫x³ dx移到等式的一边,得到:

(4/3)∫x³ dx = (1/3)x⁴

两边同时除以4/3,我们得到最终的结果:

∫x³ dx = (3/4)x⁴ + C

所以,∫x³ dx = (3/4)x⁴ + C(其中C为常数)。

综上所述,对于给定的函数f(x),我们可以根据积分的性质和方法进行求解。在这个例子中,我们使用了分部积分法,求得∫x³ dx = (3/4)x⁴ + C。

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