Question

已知函数f(x）对任意x,y均有f(x)+f(y)=2f[(x+y)/2)]f[(x-y)/2],存在非0常数c,f(c)=0

已知函数f(x）对任意x,y均有f(x)+f(y)=2f[(x+y)/2)]f[(x-y)/2],存在非0常数c,f(c)=0 (1).判断f(x)的奇偶性 （2）求出f(x)的一个周期

Answer 1

（1）y = x
f(x)+f(x)=2f[(2x)/2)]f[(0)/2]=2f(0)f(x) f(0)=1

y = -x
f(x)+f(-x)=2f[(0)/2)]f[(2x)/2]=2f(0)f(x)=2f(x)
f(x)是偶函数

（2）y = x + 2c时，
f(x)+f(x+2c)=2f[(2x+2c)/2)]f[2c/2]=2f(c)f(x+c)=0
f(x+2c) = -f(x)

x=0时，
f(0)+f(2c)=0 f(2c) = -1
y = x + 4c时
f(x)+f(x+4c)=2f[(2x+4c)/2)]f[4c/2]= 2f(x+2c)f(2c)= -2f(x+2c) = 2f(x)

则f(x+4c)=f(x)
所以一个周期是4c

Answer 2

因为按题意，2f(x)=2f(0)*f(x)
所以f(0)=1
f(x)+f(-x)=2f(0)f(x)=2f(x)---> f(x)=f(-x),所以是偶函数

因为f(2c)+f(0)=0---> f(2c)=-1
f(4c)+f(0)=1---> f(4c)=0=f(c)
所以它的一个周期是4c-c=3c

Answer 3

因为按题意，2f(x)=2f(0)*f(x)
所以f(0)=1
f(x)+f(-x)=2f(0)f(x)=2f(x)---> f(x)=f(-x),所以是偶函数

因为f(2c)+f(0)=0---> f(2c)=-1
f(4c)+f(0)=1---> f(4c)=0=f(c)
所以它的一个周期是4c-c=3c
因为按题意，2f(x)=2f(0)*f(x)
所以f(0)=1
f(x)+f(-x)=2f(0)f(x)=2f(x)---> f(x)=f(-x),所以是偶函数

因为f(2c)+f(0)=0---> f(2c)=-1
f(4c)+f(0)=1---> f(4c)=0=f(c)
所以它的一个周期是4c-c=3c