Question

几道高中数学题

1.已知函数f(x)=x2+ax+b,当p+q=1时，试证明pf(x)+qf(y)>=f(px+qy)对于任意实数xy均成立的充要条件是0《=p《=1

2已知数列｛an｝中a1=1/2,点（n,2an+1-an）在直线y=x上，其中南，2，3…….
（1） 令bn=2an+1-an-3 求证｛bn｝为等比数列
（2） 求｛an｝的通项
（3） 设sn tn 分别是an bn 前n项和 是否存在实数q使得数列｛（sn+qtn）/n｝是等差数列 存在求出 不存在理由
第二题中的a d后面的n，n+1,1,2等为下标 s t也如此 第一题x后面的2表示二次方

题中q p表示系数
第二题的“南”改为“n=1"

Answer 1

第一题

p*f(x)+q*f(y)=p*f(x)+(1-p)*f(y)
=p*(x^2+ax+b-y^2-ay-b)+y^2+ay+b

f(px+qy)=f(px+(1-p)y)
=(p(x-y)+y)^2+a*(p(x-y)+y)+b

p*f(x)+q*f(y)-f(px+qy)

=(p-p^2)(x-y)^2

（化简步骤挺繁琐，省略了）

当且仅当0<=p<=1时

(p-p^2)(x-y)^2>=0

得证

第二题

(1)

按照你给出的条件

2*a(n+1)-an=n

bn=2a(n+1)-an-3=n-3

这是一个等差数列……

(2)

2*a(n+1)-an=n

2*a(n+1)-2n-2+4=an-n+2

2*(a(n+1)-(n+1)+2)=an-n+2

a1-1+2=1/2-1+2=3/2

an-n+2=3/(2^n)

an=3/(2^n)+n-2

(3)

Sn=3-3/(2^n)+n(n-3)/2

Tn=n(n-5)/2

将不存在定值q使得(Sn+qTn)/n为等差数列……

Answer 2

1)b n是等差数列吧！b n =n-3
2)2a n+1 -a n =n ○1
设2{a n+1 +p(n+1)+q}=a n +pn+q
整理得：2a n+1 -a n = -pn-(2p+q)○2
由○1○2得 -p=1, -(2p+q)=0
解得p=-1,q=2 即{a n -n+2}为等比数列，公差为1/2,a 1 =1/2,进而求得a n =(1/2) n +n-2
3)sn={（1/2）1 +（1/2）2 +…+（1/2）n }+（1+2+3+…+n）-2n
={1-(1/2) n }+(1/2)n 2 +(1/2)n-2n
bn=(1/2)n 2 -(5/2)n
是等差数列，即2（s n +qt n ）/n=(s n-1 +qt n-1 )+(s n+1 +qt n+1 )
整理得：q=(1/2) n-1 +(1/2) n+1 -2(1/2)n
q=(1/2) n+1 .

(我用空格键分开的字母或数字是上下标的部分，希望你能看明白。）
（不知道做的对不对，但愿能给你一些参考！！）

Answer 3

我只有这么多了

Answer 4

第一题：
先证充分条件：若0《=p《=1，则0《=q《=1
pf(x)+qf(y)-f(px+qy)=（px+qy)2-px2+qy2=pq（x-y)2》=0
则为充分条件
必要条件：由pf(x)+qf(y)>=f(px+qy)，可知
pf(x)+qf(y)-f(px+qy)=（px+qy)2-px2+qy2=pq（x-y)2》=0
则pq》=0，推出p（1-p）》=0
则0《=p《=1
故，为充分必要条件
第二题：（1）等差数列
（2）an=(1/2)n+n-2
（3）Sn=3-3/(2^n)+n(n-3)/2 Tn=n(n-5)/2