Question

高中三角函数

1--求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域
2--求函数7-4sinxcosx+4(cosx)^2-4(cosx)^4的最大值与最小值
要详细的步骤，最好写下解题思路思路

Answer 1

1.主要咱们是想把它变成是一个变量，这道题适合利用完全平方(sinx+cosx)^2=(sinx)^2+(cosx)^2+2sinxcosx=1+2sinxcosx，找到变量的关系以后，下面利用换元法，换元法要注意取值范围。
定义域{x|x∈R}设t=sinx+cosx=(根号2)sin(x+π/4)∈[-根号2，根号2]
sinxcosx=(t^2-1)/2
则y=t+(t^2-1)/2=(t^2)/2+t-1/2=(1/2)(t+1)^2-1,再结合前面确定的t的取值范围，这个函数值域为[-1,根号2+1/2]
2.原式=7-4sinxcosx+4(cosx)^2[1-(cosx)^2]=7-4sinxcosx+4(cosx)^2(sinx)^2
还是利用换元法，设t=sinxcosx=(1/2)sin2x∈[-1/2,1/2],(此处我利用了倍角公式确定的范围，不知道你学了没有，没有也没事，你可以参照上题的方法进行确定范围)，原式变为4t^2-4t+7=4(t-1/2)^2+6，根据t范围,可知最大值为10，最小值为6。
希望能帮到你，哪里不清楚可以问我，当然了，这是我个人的答案和方法，你做个参考吧。

Answer 2

y=(sinx+cosx)+1/2sinx^2+1/2Cos^2+sinxconsx-1/2
=1/2(sinx+consx)^2+(sinx+consx)-1/2
=1/2(sinx+cosx+1)^2-1

设：k=sinx+cosx k^2=1+2sinx*cosx=1+sin2x k=±√（1+sin2x）
∴sinx+cosx的范围是 [-√2,√2]
∴y的范围：y=1/2(k+1)^2-1 K在[-√2,√2]
当sinx+cosx=-1 y的最小值y=-1 当k=√2有最大值=√2+1/2
y[-1,√2+1/2]

2. y=7-4sinxcosx+[4(cosx)^2-4(cosx)^4-1]+1
=7-2sin2x -[2(cosx)^2-1] ^2+1
=8-2sin2x-(cos2x)^2
=8-2sin2x-[1-(sin2x)^2]
=7+(sin2x)^2-2sin2x
=6+ (sin2x-1) ^2
当Sin2x=1时有最小值y=6 当sin2x=-1时y最大值10

Answer 3

1. =sinx+cosx+sinxcosx+1/2(sin^2 x+cos^2 x)-1/2
=sinx+cosx+1/2(sinx+cosx)^2-1/2
=√2sin（x+π/4）+ sin^2（x+π/4）-1/2
=[sin（x+π/4）+√2/2] ^2-1. 值域为[1/2-√2，1/2+√2]
2. =7-4sinxcosx+[4(cosx)^2-4(cosx)^4-1]+1
=7-2sin2x -[2(cosx)^2-1] ^2+1
=8-2sin2x-(cos2x)^2
=8-2sin2x-[1-(sin2x)^2]
=7+(sin2x)^2-2sin2x
=6+ (sin2x-1) ^2 最大值10，最小值6。