Question

双曲线与直线相交问题

双曲线X2/a2-Y2=1(a>0)与直线X+Y=1相交于2个不同的点A、B；求：
（1）双曲线离心率的范围；
（2）设直线与Y轴的交点P且PA=5/12PB，求a的值

Answer 1

解：将y=1-x代入x^2/a^2-y^2=1得：
（1-a^2）x^2+2a^2x-2a^2=0
∵双曲线X2/a2-Y2=1(a>0)与直线X+Y=1相交于2个不同的点
∴△＞0,即：4a^2(2-a^2)＞0 解得：a^2＜2 则1+1/a^2＞3/2
∴c^2/a^2=(a^2+1)/a^2=1+1/a^2＞3/2
∴e=c/a＞√6/2

由题可得P（0，1）设A（x1,y1）、B(x2,y2)
∵PA=5/12PB
∴x1=5/12x2
将y=1-x代入x^2/a^2-y^2=1得：
（1-a^2）x^2+2a^2x-2a^2=0
则x1+x2=2a^2/(a^2-1) x1×x2=2a^2/(a^2-1)
∴17/12 × x2=5/12 x2^2 得：x2=17/5
x1=5/12×17/5=17/12
∴17/12+17/5=2a^2/(a^2-1)
解得：a=±17/13
∵a>0
∴a=17/13