Question

又是因式分解...要过程

1)证明：当n 为大于2的整数时，n^5-5n^3+4n 能被120整除．
2)已知a+b+c=0 ，求证： a^3+a^2c+b^2-abc+b^3=0

Answer 1

1）n^5-5n^3+4n
=n(n^4-5n²+4)
=n(n²-1)(n²-4)
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)

当n为大于2的整数时n^5-5n^3+4n能表示成5个连续正整数的积所以
n^5-5n^3+4n能被2×3×4×5=120整除

2）已知a+b+c=0 ，求证： a^3+a^2c+b^2-abc+b^3=0
应该是a^3+a^2c+b^2c-abc+b^3吧
原式
=(a³+b³)+(a²c+b²c-abc)
=(a+b)(a²-ab+b²)+c(a²-ab+b²)
=(a+b+c) (a²-ab+b²)
因为a+b+c=0

所以 a^3+a^2c+b^2c-abc+b^3=(a+b+c) (a²-ab+b²)=0

【希望对你有帮助】
【不懂hi上问我】

Answer 2

第一题：设n=2+m
n^5-5n^3+4n
=n^5-n^3-4n^3+4n
=n^3(n^2-1)-4n(n^2-1)
=(n^2-1)(n^3-4n)
=(n-1)(n+1)n(n^2-4)
=(n-1)(n+1)n(n-2)(n+2)
=(m+1)(m+3)(m+2)m(m+4)
=m(m+1)(m+2)(m+3)(m+4)
下面就演变成五个连续自然数的积能被120整除
证明：数学归纳法
1、当m=1时1*2*3*4*5=120，能被120整除，原命题成立
2、假设当n=k时原命题成立，则当n=k+1时
（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）（k+5）
=k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）
+5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）
因为k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是120的倍数
只需证5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是120的倍数
即欲证（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是24的倍数
四个数中两奇两偶，一定有4的倍数，3的倍数，还有另一个偶数，所以一定能被4*2*3=24整除 。
即当n=k+1时原命题成立

2、这题b^2后面少个c
a+b+c=0
a+b=-c
a^3+a^2c+b^2-abc+b^3
=a^3+b^3+a^2c+b^2c-abc
=(a+b)(a^2+b^2-ab) +a^2c+b^2c-abc
= -ca^2-cb^2+abc+a^2c+b^2c-abc
=0

Answer 3

第一题：
原式=n（n^4-5n^2+4）
=n(n^2-1)(n^2-4)
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
根据抽屉原理，两个相邻的数中，必含一个偶数，设它为2a
三个相邻的数中，必含一个3的倍数，设它为3b
四个相邻的数中，必含一个4的倍数，设它为4c
五个相邻的数中，必含一个5的倍数，设它为5d
那么 乘积可以写成
2a*3b*4c*5d=120abcd
所以是120的倍数
第二题：
楼主确定没抄错？
我觉得原题应该是
求证a^3+a^2c+b^2c-abc+b^3=0 就是b^2那个地方抄错了
有两种方法。
一种是直接分解
那就是
原式=a³+b³+c（a²+b²-ab）
=（a+b）（a²+b²-ab）+c（a²+b²-ab）
=（a+b+c）（a²+b²-ab）
因为a+b+c=0
所以原式为0。
另一种就是好好利用条件
因为c的次数小
所以考虑c=-a-b
代入
原式=a³+b³-a²（a+b）-b²（a+b）+ab（a+b）
=a³+b³-a³-a²b-ab²-b³+a²b+ab²=0