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令f(x)=x-lnx,则f'(x)=1-1/x (x>0).由列表法
x (0,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) 减 极小值 增
故f(x)≥f(1)=1>0,所以x>lnx
同理令g(x)=e^x-x,则g'(x)=e^x-1 (x>0).
因为g'(x)>g'(0)=0 故g(x)单调递增，g(x)>g(0)=0,即e^x>x
综上所述，lnx＜x＜e^x
x (0,1) 1 (1,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) 减 极小值 增
故f(x)≥f(1)=1>0,所以x>lnx
同理令g(x)=e^x-x,则g'(x)=e^x-1 (x>0).
因为g'(x)>g'(0)=0 故g(x)单调递增，g(x)>g(0)=0,即e^x>x
综上所述，lnx＜x＜e^x
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