Question

一道数学题！求解

作边长为a的正三角形的内切圆,在这个圆内作新的内接正三角形,在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的周长之和以及面积之和为多少？

Answer 1

（这会利用到求极限哦）

解：图在下面，容易得出第一个内接圆的半径是a／(2×√3)

                          第一个内接圆的内接三角形（以后简称第一个内接三角形）的边长为a/2

由递推可以推出      

                     第二个内接圆的半径是a/(2×√3)∧2（是平方的意思)

                     第n 个内接圆的半径是a/(2×√3)∧n

那么这些圆的周长之和可以列出如下式子

L＝limn→∞ 2π（r1+r2+…+rn)

（这个式子懂吗，是n趋于无穷时后面的式子的值，和题意是一致的哈）

我们将r1=a／(2×√3)

      r2=a/(2×√3)∧2

      ...=...

      rn=a/(2×√3)∧n

代入上式可以得到

L=2πa/(2×√3-1)

下面求面积了

S=π r1∧2+π r2∧2+…（这会利用到求极限哦）

解：图在下面，容易得出第一个内接圆的半径是a／(2×√3)

                          第一个内接圆的内接三角形（以后简称第一个内接三角形）的边长为a/2

由递推可以推出      

                     第二个内接圆的半径是a/(2×√3)∧2（是平方的意思)

                     第n 个内接圆的半径是a/(2×√3)∧n

那么这些圆的周长之和可以列出如下式子

L＝limn→∞ 2π（r1+r2+…+rn)

（这个式子懂吗，是n趋于无穷时后面的式子的值，和题意是一致的哈）

我们将r1=a／(2×√3)

      r2=a/(2×√3)∧2

      ...=...

      rn=a/(2×√3)∧n

代入上式可以得到

L=2πa/(2×√3-1)

下面求面积了

S=π r1∧2+π r2∧2+…+π rn∧2+…

同样将各R值代入上式可以得到

S=πa∧2/11

答：略

希望可以帮到你，呵呵

Answer 2

利用等比定理

三角形相似，对应边比例相等。