Question

映射与函数的联系

Answer 1

函数的定义为：

1．传统定义(运动学观点下的定义)：设在某变化过程中有两个变量 ，如果对于自变量 在某一范围内的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与它对应，那么就称 是 的函数， 叫做自变量.自变量 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量 对应的 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.

2.现代定义（集合观点下的定义）：设 、 是两个非空数的集合，如果按某个确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 与它相对应，那么就称 为集合 到集合 的一个函数，记作 ，其中 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数 的定义域，与 对应的 的值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数 的值域.

3.两个定义在本质上是一致的，只是叙述的出发点不同.

映射是定义是：设 、 是两个集合，如果按照某种对应法则 ，对于集合 中的任意一个元素，在集合 中都有唯一的一个元素和它对应，这样的对应（包括集合 、 以及 到 的对应法则 ）叫做集合 到集合 的映射，记作： .

根据映射的定义，可以发现：映射强调的是一种对应关系，它是一种特殊的对应，其特点是：

（1）映射中集合 、 可以是数集，也可以是点集或其他集合，同时两个集合必须必须有先后次序，从集合 到集合 的映射与从集合 到集合 的映射是不同的.

（2）映射包括集合 、 以及 到 的对应法则 ，三者缺一不可.

（3）对于一个从 到 的映射而言， 中每一个元素必有唯一的象，但 中的每一个元素却不一定有原象，若有也不一定只有一个.

根据集合和映射的定义可以看出：函数是一种特殊的映射，是非空数集之间的对应；映射不止包含函数一种对应，还有其他的对应.