Question

已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为（1，3) (1)若方程f（x)+6a=0有两个相等的根，

已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为（1，3) (1)若方程f（x)+6a=0有两个相等的根，求f(x);(2)f(x)的最大值为正数，求a的取值范围

Answer 1

f(x) = ax^2 + bx + c

f(x)>-2x的解集为（1，3) => f(x) = -2x的解为1，3, 且a<0

1*3 = c/a => c = 3a
1+3 = -(b+2)/a => b = -4a - 2

=> f(x) = ax^2 + bx + c = ax^2 - (4a+2)x + 3a

(1) 方程f（x)+6a=0有两个相等的根
ax^2 - (4a+2)x + 3a + 6a = 0有两个相等的根
=> a = 1

(2) f(x) = ax^2 - (4a+2)x + 3a = a(x - (4a+2)/2a)^2 +3a -(4a+2)^2/4a
f(x)的最大值为3a -(4a+2)^2/4a > 0
3a^2 - (2a+1)^2 < 0
-a^2 - 4a -1 < 0
a^2 + 4a + 1 > 0
a > -2 + 根号3 或 a < -2-根号3

Answer 2

解：f(x)=ax^2+bx+c
f(x)>-2x
ax^2+(b+2)x+c>0解集是（1，3）
所以1和3是方程ax^2+(b+2)x+c=0的根
所以1+3=-(b+2)/a,1*3=c/a
b=-4a-2,c=3a

f(x)+6a=ax^2+bx+c+6a=0有两个相等的根
b^2-4a(c+6a)=0
(-4a-2)^2-4a(3a+6a)=0
16a^2+16a-36a^2=0
二次函数a不等于0
所以a=4/5
b=-26/5,c=12/5
f(x)=4x^2/5-26x/5+12/5

b=-4a-2,c=3a
f(x)=ax^2-(4a+2)x+3a
有最大值，所以a<0
f(x)=a[x-(2a+1)/a]^2-(2a+1)^2/a+3a
最大值=-(2a+1)^2/a+3a>0
a<0,两边乘a
-(2a+1)^2+3a^2<0
-4a^2-4a-1+3a^2<0
a^2+4a+1>0
a>-2+√3,a<-2-√3
所以a<-2-√3,-2+√3<a<0

Answer 3

1.
(1)令 f(x) = ax^2+bx+c
因不等式f(x)＞-2x的解集为(1,3)，知 a<0
且对于方程 ax^2+(b+2)x+c =0
由根与系数的关系有
x1+x2 = -(b+2)/a = 4
x1x2 = c/a=3
由方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根
则 △= b^2-4ac = b^2-4a(6a+c) =0

将 b=-(4a+2), c=3a 代入，得
(2a+1)^2 -9a^2 = 0
即(5a+1)(1-a)=0
解得 a=1（舍去）, a=-1/5
所以
a=-1/5 , b= -6/5, c=-3/5

则f(x)的解析式为 f(x) = -1/5x^2 -6/5x -3/5

(2) 因a<0,且 b=-(4a+2), c=3a
则
f(x) = ax^2+bx+c = ax^2 -(4a+2)x +3a
要使f(x)的最大值为正数，则只需
△= (4a+2)^2 -4*a*(3a)>0
即a^2+4a+1>0
解得
a<-2-√3 或a>-2+√3
所以
a的取值范围是 (-∞,-2-√3)∪(-2+√3,0)

或
（1）设f(x) = ax^2+bx+c 由不等式f(x)＞-2x的解集为(1,3)，知 a<0 且对于方程 ax^2+(b+2)x+c =0 由根与系数的关系有 x1+x2 = -(b+2)/a = 4 x1x2 = c/a=3 由方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根
△= b^2-4ac = b^2-4a(6a+c) =0 b=-(4a+2), c=3a 代入，得 (2a+1)^2 -9a^2 = 0 即(5a+1)(1-a)=0 解得 a=1（舍去）, a=-1/5 所以 a=-1/5 , b= -6/5, c=-3/5 则f(x)的解析式为 f(x) = -1/5x^2 -6/5x -3/5
（2） 因a<0,且 b=-(4a+2), c=3a 则 f(x) = ax^2+bx+c = ax^2 -(4a+2)x +3a 要使f(x)的最大值为正数，则只需 △= (4a+2)^2 -4*a*(3a)>0 即a^2+4a+1>0
解得 a属于 (-∞,-2-√3)∪(-2+√3,0)

Answer 4

为什么最大值大于0

△反而大于0?

不是应该小于么?

Answer 5

(-∞,-2-√3)∪(-2+√3,0)

Answer 6

0.5