Question

如果关于x的实系数一元二次方程x²+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)²+(β－1)&su

如果关于x的实系数一元二次方程x²+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)²+(β－1)²的最小值是多少

韦达定理

Answer 1

可以从以下几个角度思考如何解决这个问题：
1、既然方程有两个实数根，那么判别式 4（m+3）²-4*(2m+3)>=0 （1）;
这样就可以得到一个m的取值范围为任意值。
2、二元表达式的极值问题应该转化为一元表达式求解，
α+β=-2（m+3) (2);
α*β=2m+3 (3);
(α－1)²+(β－1)²=(α+β)²-2αβ-2(α+β)+2
=4(m+3)²-2(2m+3)+4(m+3)+2
=4((m+3)²+2)>=8；
由此可知：此表达式最小值为 “8”。

Answer 2

(α－1)²+(β－1)²>=2(α－1)(β－1)
=2[αβ-(α+β)+1]
=2(3+2m+6+1)
=4(5+m)
α－1=β－1
α=β时，等号成立。最小值存在。

方程有两个实数根相等：
b^2-4ac=4(m+3)^2-4*3=0
m=3^0.5-3
那么(α－1)²+(β－1)²的最小值是4(5+m)=4(2+3^0.5)
=8+4*3^0.5

Answer 3

(α－1)²+(β－1)²=(α+β-2)²-2(α-1)(β-1)=(α+β-2)²+2(α+β)-2αβ-2
=(-2(m+3)-2)²+2(-2(m+3))-2(m²+3)-2=2m²+28m+44

由根判别式得m≥-1，很显然上面二次方程开口向上，最小值在m=-1处，为18

Answer 4

(α－1)²+(β－1)²
=α²-2α+1+β²-2β+1
=α²+2αβ+β²-2α+1-2β+1-2αβ
=（α＋β）²-2（α＋β）+2－2αβ
∵αβ＝2(m+3)，α+β=-(2m+3)
∴原式=（2m+3）²+2（2m+3）+2-2(m+3)
=4m²+14m+23
=(2m+3.5)²+43/4
∵关于x的实系数一元二次方程x²+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β
∴Δ≥0即4(m+3)²－4（2m+3)≥0
∵4(m+3)²－4（2m+3）=m²+4m+6=(m+2)²+2＞0
即m取任意值
∴原式最小值为m=-7/4是43/4