Question

急需！！！定积分在物理方面的应用题

有一横截面积为S=20m^2,深为5m圆柱形的水池，现要将池中盛满的水全部抽到高为10m的水落塔顶上去，需要作多少功？
答案是12.25乘以10^6（J） 要详细解题过程

Answer 1

这道题应该是高中物理竞赛的题吧，高中物理竞赛经常出这样的题，但是我认为不必使用定积分就可以得出结果。因为对于高中物理竞赛来说定积分是不要求掌握的，所以用普通的分段求和就可以了。不过我做出来是12.5*10^6J 不知是否我做错了！

首先可以画出图来一个在地下h的水池与在地上H的塔顶。然后对于水池，我们可以将其分为i份，显然，每一份的高度为h1=h2=h3=……=hi-1=hi=h/i
那么对于每一份水来说，质量均为m=M/i=密度*S*h/i
则对于h1：上升后克服重力做功为：
W1=mg（H+h-1/2h1） (考虑到重心在水柱的中间部位，所以有1/2)
对于h2：功为：
W2=mg（H+h-h1-1/2h2）
以此类推：
对于hi：功为：
Wi=mg（H+h-h1-h2-……-hi-1-1/2hi）
那么对于总功，就是将其相加：
W=W1+W2+W3+……+Wi=mg（iH+ih-1/2ih）
（解释：对于括号里的求和直接将其相加，然后将h1 h2 h3 h4 h5 等当成相等的量h/i 然后便是一个等差数列即可方便求值）
那么化简是：W=mg*5/2*h*i
又因为m=密度*S*h/i 所以带入后i约了那么式子为
W=（5*密度*S*h^2*g）/2=12.5*10^6J

我发现对于这道题的理解很容易出现歧义，例如，那个水池是高于地面还是低于地面？很明显是低于地面的，那么在画图时就要注意塔顶比水池底高出了H+h
如果是高于的话，那么采用我的方法可以得到功7.5*10^6J
但明显应该是低于，所以答案12.5*10^6J O(∩_∩)O

Answer 2

把圆柱形水切成无限多个小圆片，每片厚度为dz
则每片体积dV=Sdz
对每一个微元做的功dW=ρgdV×(10-z)=2×10^5(10-z)dz
设水底的圆心处为坐标原点
则做的总功W=∫dW=∫2×10^5(10-z)dz(0<=z<=5)
=10^7-10^5×25 J
= 75×10^5J

Answer 3

我觉得答案是不正确的，我有两种方法。具体字母含义你明白的。贴个图片。如果我是正确的，希望你能采纳我的。