Question

二重积分的问题

区域D：X^2+Y^2小于等于1 则 ∫∫xydσ=0 关于这点我有点疑问

区域是个圆形，所以关于X轴 Y轴 同时也关于原点对称
（1）对于关于X轴，Y轴对称有 f(x,-y) = f(-x,y) = -f(x,y)
所以f(x,y) 关于x 或y 都是奇函数 I=0
（2）对于关于原点对称 f(-x,-y)=(-x)*(-y)=xy=f(x,y)
I=2∫∫f(x,y)dσ
好像（1）（2）点矛盾， 到底 问题在那？

Answer 1

(1)没错，(2)有错。
将区域D分成四个象限（这个词应该不用解释了吧），则由于原点对称的原来
象限1上的积分与象限3上的积分相等，同理，象限2与象限4上的积分相等。但是原点对称不能保证象限1与象限2上的积分相等（实际上这两个象限上的积分结果互为相反数），所以结果为0

Answer 2

(1)、（2）没有矛盾，都是正确的，
但是你叙述结论时没有明确 考虑到 积分区域，

（2）是关于原点的偶函数，也有：I=2∫∫f(x,y)dσ
但注意：此时 积分区域已并不是 D：X^2+Y^2小于等于1，而是关于原点对称两个半圆中的一个了。而在此半圆上，如上半圆的积分值确是零。