Question

已知向量a=(cosα,sinα),向量b=(cosβ,sinβ),|a-b|=2根号5/5

1.求cos（α-β）的值？
2.若0＜α＜π/2，-π＜β＜0，sinβ=-5/13，求sinα的值？

Answer 1

解析：∵|a-b|=2√5/5，
∴a^2-2a.b+b^2=4/5
又a^2=│a│^2=(cosα)^2+(sinα)^2=1
b^2=│b│^2=(cosβ)^2+(sinβ)^2=1,
∴a.b=3/5
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=a.b=3/5
∵-π＜β＜0，0＜α＜π/2,
∴0＜α-β＜3π/2,且cos（α-β）=3/5＞0
则0＜α-β＜π/2,，-π/2＜β＜0
sinβ=-5/13，cosβ=12/13
∴12cosa-5sina=39/5
联立(cosα)^2+(sinα)^2=1,
解得sinα=（3√46+15）/65

Answer 2

｜a-b|²=(cosα-cosβ)²+(sinα-sinβ)²=2-2cos(α-β)=(2√5/5)²=4/5
∴ 2-2cos(α-β) =4/5 ===>cos(α-β)=3/5====>sin(α-β)=4/5,
∵sinβ=-5/13, ∴cosβ=12/13
∴sinα=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ
=(4/5)*(12/13)+3/5*(-5/13)=33/65

Answer 3

1：
∵ |向量a－向量b|＝5分之2倍根号5
∴向量a－向量b=(cosα-cosβ，sinα-sinβ)
∴根号下(（cosα-cosβ）^2+（sinα-sinβ）^2)=5分之2倍根号5
两边平方得：(（cosα-cosβ）^2+（sinα-sinβ）^2)=4/5
cosα^2+cosβ^2-2cosαcosβ+sinα^2+sinβ^2-2sinαsinβ=4/5
(cosα^2+sinα^2)+(cosβ^2+sinβ^2)-2(cosαcosβ+sinαsinβ)=4/5
1 + 1 -2 cos（α－β）=4/5
∴ cos（α－β）=(2-4/5)/2=3/5 第2问正在写
第2问 ∵ sinβ＝-5/13 -π/2＜β＜0 即 cosβ∈(0,1)
又∵ sinβ^2+cosβ^2=1
∴ cosβ^2=1-sinβ^2=1-(-5/13)^2=144/169
∴cosβ=12/13
∵cos（α－β）=3/5=cosαcosβ+sinαsinβ=3/5 又 ∵ cosα^2+sinα^2=1 方程组 sinα=（3√46+15）/65

Answer 4

cos（α-β）=a*b a^2-2ab+b^2=4/5 得
cos（α-β）=3/5

2) cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）=3/5
如果 -π＜β＜-π/2 则 π/2< α-β<3π/2 这时cos( α-β)<0
-π/2 < β<0 则 0< α-β< π cosβ=12/13
则 cosα12/13+sinα5/13=3/5 而sinα^2+cosα^2=1 解得 sinα= 题目答案设计不好 难算啊