Question

已知函数f(x)=(1/3)^x,x∈[-1，1]；函数g(x)=f^2(x)-2af(x)+3的最小值为h(a).

(1)求h(a). (2)是否存在实数m,n,同时满足下列条件：①m>n>3;②当h(a)的定义域为[n,m]时，值域为[n^2,m^2].若存在，求出m,n的值，若不存在，说明理由。

Answer 1

解：
①f(x)为减函数。得值域[1/3,3]
令t=f(x) 则 g(x)=t^2-2at+3
变形：g(x)=（t-a)^2+3-a^2
因为1/3＜t＜3
得：
h(a)={ -2a/3+28/9 a＜1/3
-a^2+3 1/3≤a≤3
-6a+12 a＞3
②假设存在这样的m，n。
则：因为m>n>3
所以 h(a)=-6a+12 a＞3
h(a)是减函数。
所以得：-6n+12=m^2
-6m+12=n^2
两式相减得6(m-n)=(m-n)(m+n)
因为 m＞n 消掉（m-n）得m+n=6
又因为 m＞n＞3 得m+n＞6
相矛盾。所以不存在这样的m，n。

Answer 2

1。g(x)=f^2(x)-2af(x)+3=(1/3)^2x-2a*(1/3)^x+3;
g'(x)=(1/3)^2x*2*ln(1/3)-2a*(1/3)^x*ln(1/3)=0;
x=ln3a=h(a)
2。自己求吧