Question

【数学】求数列的通项公式

已知数列{an}满足a(n)=2a(n-1)+2^n-1（n∈N+且n≥2）（括号中为角标，下图），
且a(1)=5，a(2)=13，a(3)=33，a(4)=81
求an的通项公式
【注：要求正式解答题的方法，不能根据前几项用不完全归纳法去套~】

Answer 1

两边同时减1，得到a(n)-1=2[a(n-1)-1]+2^n
然后两边再同除以2^n得到｛[a(n)-1]/2^n}首项为2，d=1的等差数列，
就可以算出a(n)=(n+1)*2^n+1

Answer 2

a(n)=2a(n-1)+2^n-1
2a(n-1)=4a(n-2)+2^n-2
……
2^(n-2)a2=2^(n-1)a1+2^n+2^(n-2)
叠加an=2^(n-1)a1+(n-1)2^n-2^(n-1)+1=(n+1)2^n+1

Answer 3

等式两边同除2^n
a(n)/2^n=a(n-1)/2^(n-1)+1-1/2^n
a(n)/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=1-1/2^n,累加
得a(n)/2^n-a(1)/2=n-1-1/2-1/2^n
a(n)=2^n(n+!)+1

Answer 4

a(n+1) = 2 * a(n) + 2^(n+1) - 1
两边同时进行单边z变换
z * ( A(z) - a(0) ) = 2 * A(z) + 2z / ( z - 2 ) - z / ( z - 1 )
整理:
A(z) = 2z / ( z - 2 )^2 - z / ( z - 1 ) / ( z - 2 ) + 2z / ( z - 2 )
进行逆z变换得
a(n) = n * 2^n + 1 - 2^n + 2 * 2^n
整理:
a(n) = ( n + 1 ) * 2^n + 1