24.1 圆
24.1.1 圆
•连接圆上任意两点的线段叫做弦。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。
24.1.2 垂直于弦的直径
•垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦的直径垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
24.1.3 弧、弦、圆心角
1、顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
推论1：相等的弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等。
推论2：相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等。
24.1.4 圆周角
1、顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，且都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧也一定相等。
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
3、如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形就叫做圆内接多边形，这个圆就叫做多边形的外接圆。
4、圆内接四边形的对角互补。
24.2 点、直线、圆和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
1、若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有：
点P在圆外 <=> d>r；点P在圆上 <=> d=r；点P在圆内 <=> d<r。
（“<=>”读作“等价于”，表示可以从符号“<=>”的一端得到另一端）
2、经过已知的两个点的圆的圆心在这两个点的连线段的垂直平分线上。
3、不在同一直线上的三个点确定一个圆，确定方法：作三点的连线段的其中两条的垂直平分线，交点即为圆心，以圆心到其中一点的距离作为半径画圆即可。
4、若三角形的三个顶点在同一个圆上，那么这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
5、假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，则假设不正确，故原命题成立，这种证明方法叫做反证法。
24.2.2 直线和圆的位置关系
1、当直线与圆有两个公共点时，叫做这条直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线。
当有一个公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
当没有公共点时，叫做直线与圆相离。
2、若⊙O的半径为r，直线l到圆心的距离为d，则有：
直线l与圆相交 <=> d<r；直线l与圆相切 <=> d=r；直线l与圆相离 <=> d>r。
3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线就是圆的切线。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
4、经过圆外一点作圆的切线，这个点到切点的长度叫做这点到圆的切线长。
5、切线长定理：从圆外一点可以引出两条切线，它们的切线长相等，这个点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
6、与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条边的角平分线的交点，叫做三角形的内心。确定内切圆方法：作出角平分线，以交点为圆心，以它到任意一边的距离为半径作圆即可。
24.2.3 圆和圆的位置关系
（1-3条内容见最下面的图片）
1、如果两个圆没有公共点，就叫做这两个圆相离（如(1)(5)(6)）。
其中(1)叫做外离，(5)(6)叫做内含，(6)中两圆同心是内含的一种特殊情形。
2、如果两个圆只有一个公共点，就叫做这两个圆相切（如(2)(4)）。
其中(2)叫做外切，(4)叫做内切。
3、如果两个圆有两个公共点，就叫做这两个圆相交（如(3)）。
4、若两个圆的半径分别为r1、r2（r1>r2），圆心距（两圆圆心的距离）为d，则
外离 d>r1+r2 内含 d<r1-r2
外切 d=r1+r2 内切 d=r1-r2
相交 r1-r2<d<r1+r2
24.3 正多边形和圆
1、将一个圆分成n段相等的弧，再将弧的端点顺次连接，即可得到圆内接正n边形，这个圆就叫做正n边形的外接圆。
2、正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，其外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做中心角，中心到正多边形任意一边的距离叫做边心距。
3、画边长为R的正六边形的方法：
①以R为半径作圆，用量角器画出一个(360°÷6=)60°的圆心角，它对着一段弧，在圆上依次截取与它相等的弧，得到圆的6等分点，顺次连接即可。
②以R为半径作圆，找圆上一点依次截取等于R的弦，便能六等分圆，连接分点即可。
4、尺规画正方形的方法：在圆内画两条互相垂直的直径，便能四等分圆，连接分点即可。
正多边形补充知识：
1、正多边形都有内切圆和外接圆，这两个圆是同心圆（即垂直平分线、角平分线的交点）。
2、设正n边形的半径为R，边心距为r，边长为a，周长为C，面积为S，有：
（1）a=2R•sin (180°/n)
（2）r=R•cos (180°/n)
（3）S=1/2r•a•n=1/2C•r
3、每一个正多边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它还是中心对称图形。
24.4 弧长和扇形面积
1、n°的圆心角所对的弧长公式：l=nπR/180（推导过程：360°所对的弧长为2πR）
2、由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。
3、圆心角为n°的扇形面积公式：S=nπR²/360（推导过程：360°所对的扇形面积为πR2）
4、比较弧长公式和扇形面积公式，可以得到另一个扇形面积公式：S=1/2×lR（l为弧长）
5、连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。
6、圆锥的侧面积公式：S侧=1/2×Cl=πrl，圆锥全面积公式：S=πr²+πrl=πr(r+l)
数学活动——四点共圆的条件：
1、把四个点连成四边形，对角互补。
2、把四个点连成共底边的两个三角形，两个顶角为直角，斜边即为直径。
3、四个点到某一定点的距离相等，定点即为圆心。
4、作任意三个点的连线段的垂直平分线，有交点，该点即为圆心。
修改：文本中等价符号显示不出的问题<=>
2.圆的面积S=πr²
3.扇形弧长l=nπr/180
4.扇形面积S=nπr²/360=rl/2
5.圆锥侧面积S=πrl
〖圆的定义〗
几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。
集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
〖圆的相关量〗
圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，
值是3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679...，
通常用π表示，计算中常取3.14为它的近似值(但奥数常取3或3.1416)。
圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。
〖圆和圆的相关量字母表示方法〗
圆—⊙ 半径—r 弧—⌒ 直径—d 扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S
〖圆和其他图形的位置关系〗
圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。
直线与圆有3种位置关系：
无公共点为相离；
有两个公共点为相交；
圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：
AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。
两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。
【圆的平面几何性质和定理】
一有关圆的基本性质与定理
⑴圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。
⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。
⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理
①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；
②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
③S三角=1/2*△三角形周长*内切圆半径
④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的线段）
〖有关切线的性质和定理〗
圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。
切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质：
（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。
〖有关圆的计算公式〗
1.圆的周长C=2πr=πd
2.圆的面积S=πr^2;
3.扇形弧长l=nπr/180
4.扇形面积S=nπr^2;/360=rl/2
5.圆锥侧面积S=πrl
【圆的解析几何性质和定理】
〖圆的解析几何方程〗
圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。
圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2。
圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
〖圆与直线的位置关系判断〗
平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：
1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C／A<x1或x=-C／A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C／A<x2时，直线与圆相交；
半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 => (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F => 圆心坐标为(-D/2,-E/2) 其实不用这样算 太麻烦了 只要保证X方Y方前系数都是1 就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2) 这可以作为
其他的像三角形的、正方形的、长方形的你可以上百度百科上去查
希望我的回答对你有帮助，采纳吧O(∩_∩)O！
2.圆周角定理的两个推论很重要.
圆周角定理:
1. 一条弧上的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等,在同圆和等圆中,相等的圆周角也相等.此推论是说明在同圆和等圆中,弧等,圆周角等,圆周角相等它们所对的弧相等.在证明中,往往从角找它所对的弧,在从此弧找另一个圆周角,从而证两个圆周角相等.
推论2:直径(半圆)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
这个推论一段是若已知是直径,通常做直径上的圆周角,证得是直角.
