Question

因式分解题

证：当n为大于二的整数时，n^5-5n^3+4n能被120整除

Answer 1

n^5-5n^3+4n
=n(n^4-5n^2+4)
=n(n^2-1)(n^2-4)
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
因为n>2,显然上面的表达式为5个连续自然数之积
讨论
1 由于5个连续，必有2个偶数，其中必有1个4的倍数所以能被8整除
2 由于5个连续，必有一个3的倍数，所以能也被3整除
3 由于5个连续，自然必有一个5的倍数，所以还能被
整除
8×3×5=120 必为该数的约数。
所以n^5-5n^3+4n能被120整除