Question

求函数的单调区间问题~

f(X)=（a+1）lnx+ax^2+1 的单调区间
我想知道怎么分a的几种情况讨论 a可以取哪几个值？

Answer 1

在函数f(x)=（a+1）lnx+ax^2+1中，a为实常数，所以讨论a对函数的影响，粗分a=0,a>0,a<0
三种情况，细化，还要看具体函数本身。
当a=0时，f(x)=lnx+1，显然是对数函数，在其定义域(0,+ ∞)内，函数f(x)单调增；
当a≠0时, 函数f(x)=（a+1）lnx+ax^2+1, 定义域(0,+ ∞)
F’(x)=(a+1)/x+2ax=(2ax^2+a+1)/x
令2ax^2+a+1=0==>x^2=-(a+1)/(2a)>=0
(a+1)/(2a)=<0,其解集为-1=<a<0
当a=-1时，方程的解为x1=x2=0
当-1<a<0时，x1=-√(-(a+1)/(2a)), x2=√(-(a+1)/(2a))

当a>0时，lnx,x^2在(0,+ ∞)上单调增，∴函数f(x)单调增；
当-1<a<0时，x1<0,x2>0
当x∈(0,x2)时，f’(x)>0，函数f(x)单调增；当x∈(x2,+∞)时，f’(x)<0，函数f(x)单调减；
当a=-1时，f(x)=-x^2+1，显然单调减；
当a<-1时, -lnx, -x^2在(0,+ ∞)上单调减，∴函数f(x)单调减；

综上：当a>0时，函数f(x)单调增
当a=0时，函数f(x)单调增；
当-1<a<0时，当x∈(0,x2)时，函数f(x)单调增；当x∈(x2,+∞)时，函数f(x)单调减；
当a=<-1时, 函数f(x)单调减；

Answer 2

定义域(0,+∞)
f’(X)=（a+1）/x+2ax=(2ax^2+a+1)/x
1、a=0时(0,+∞)增函数
2、a不为0时，令f’(X)=0则x^2=-(a+1)/2a ……（*）
（1）-(a+1)/2a<0 即a>0或a<-1时（*）式无解
a>0时(0,+∞)增函数 a<-1时(0,+∞)减函数
（2）-(a+1)/2a=0即a=-1 时(0,+∞)减函数
（3）-(a+1)/2a>0则 x=根号[-(a+1)/2a]
(0,根号[-(a+1)/2a])减函数，（根号[-(a+1)/2a]，+∞）增函数
最后你自己写个综上所述吧，将结果一样的写在一起，我就不写了，呵呵，由于躺在床上打的，没有精确计算，是否准确，你去验证吧！

Answer 3