Question

高一数⊙χ请大家帮忙解答一下，谢谢！！

对任何实数x,y的函数f（x)满足;f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=2,试求：f(2)÷f(1)+f(3)÷f(2)+f(3)／f(2)+f(4)÷f(3)+......+f(2008)÷f()2007)+f(2009)+f(2010)f(2009)的值？

Answer 1

方法一：由“柯西法”（高中竞赛知识），f(x)=a^x,又f(1)=2,所以a=2,所以f(x)=2^x,
后面自己算吧，很简单。
方法二：f(n+1)\f（n）=f(1)*f(n)\f(n)=f(1)=2,之后就简单了。(哦，还要反证一下f(x）不等于0，这个简单)

Answer 2

f(1)=2=2^1
f(2)=f(1+1)=f(1)*f(1)=2^2
f(3)=f(2+1)=f(2)*f(1)=f(1)*f(1)*f(1)=2^3
同理得f(N)=2^N
则f(2)÷f(1)=2，f(3)÷f(2)=2
同理，前面共有2008-1=2007个2相加
则原式=2*2007+2^2009+2^(2010+2009)
所以答案就是2*2007+2^2009+2^4019
ok了