Question

高中数学高手进

在区间【0，1】上任取2个数a,b则函数Y=2分之一X的3次方+aX-b在区间【-1，1】上有且仅有一个零点的概率？

Answer 1

答案为1/8，详解，见图片，可能有点复杂，但是思路应该是正确的：

Answer 2

答案应该是7/8吧
题目可以看作
y=1/2x^3+ax和y=b有交点而已
前面的曲线是单调递增的
只要1/2x^3+ax的最大值大于b就可以了
最大值为1/2+a
由

0‹=a‹=1
0‹=b‹=1
1/2+a›=b
画出图形求出有效面积来
图形中正方形除去三角形的面积即为有效面积
这个属于线性规划的内容了
所以概率为7/8
真心为你解答
期待最佳和好评!!!!!!!

Answer 3

假设 f(x) = 1/2*x^3 + ax - b。求导得，f'(x)= 3/2*x^2+a > 0。因此，f(x)为单调递增函数。

于是，当 f(-1) <= 0 且 f(1) >= 0 时，函数在区间[-1,1]之间取得零点。

得到不等式， a + b >= -1/2 和 b-a <= 1/2.

根据已知条件，第一个不等式自然成立。

第二个不等式包含两种情况：
1. b <= a. 此事件概率为 1/2.
2. b > a (概率为1/2) 且 b-a<=1/2(概率为1/2). 此事件概率 1/2*1/2 = 1/4.

因此，所求概率为 3/4.

Answer 4

楼上答案中的1/8是对的，其解法中最后的那个地方可以改一下，改成一个线性规划的问题去处理比较适合高中水平。还有个地方就是我们不必去说明x趋于正无穷或者负无穷时的函数值的变化情况，因为实数集上的增函数至多有一个零点，我们只需满足f(-1)<=0,且f(1)>=0即可，而下面算概率的事情完全可以转化为线性规划去处理，这样更方便有效。