Question

已知 lg(4x^2+4ax) = lg(4x-a+1) 有唯一实数解，求实数a的取值范围。

已知 lg(4x^2+4ax) = lg(4x-a+1) 有唯一实数解，求实数a的取值范围。
答案是[1/5 , 1)

我先算△的值，根据4x^2+4ax>0 且 4x-a+1>0 进行分类讨论
但具体的分类讨论我碰到点困难，求高人的详细指点。
感谢。

Answer 1

解：原方程等价于条件组：（*)x＞(a-1)/4.(**)4x²+4(a-1)x+a-1=0.⊿=16(a-1)(a-2).（一）当⊿＝0时，有a=1,或a=2。代入条件组中可知，a=1时,有x＞0,且x=0.矛盾。当a=2时。有x＞1/4,且x=-1/2.矛盾。故⊿≠0。（二）当⊿＞0时，有a＜1或a＞2.此时方程4x²+4(a-1)x+a-1=0有两不等实根x1,x2(x1<x2).由题设，必有x1≤(a-1)/4,且x2＞(a-1)/4.令函数f(x)=4x²+4(a-1)x+a-1.则有f[(a-1)/4]≤0.===>1/5≤a≤1.由前可知，a≠1.当a=1/5时，条件组中的方程为4x²-(16x/5)-(4/5)=0.===>x1=-1/5,x2=1.此时，（a-1)/4=-1/5.满足x1≤(a-1)/4,x2＞(a-1)/4.综上可知，1/5≤a＜1.即a∈[1/5,1).

Answer 2

lg(4x^2+4ax) = lg(4x-a+1)，
∴4x^2+4ax=4x-a+1,
∴4x^2+(4a-4)+a-1=0,
x1={(1-a)-√[(a-1)(a-2)]}/2,
x2={(1-a)+√[(a-1)(a-2)]}/2.
原方程有唯一解
<==>4x1-a+1<=0<4x2-a+1,
<==>3(1-a)-2√[(a-1)(a-2)]<=0
<3(1-a)+2√[(a-1)(a-2)]
<==>3(1-a)<=2√[(a-1)(a-2)]①且
-3(1-a)<2√[(a-1)(a-2)]②
a<1时②成立，①^2,得
9(1-a)^2<=4(a-1)(a-2)，
(a-1)(5a-1)<=0，
1/5<=a<1；
a>=1时①成立，②^2,解得1/5<a<1,矛盾。
综上，1/5<=a<1,为所求。