Question

高一数学题·求解

观察下面等式:(5^3+2^3)/(5^3+3^30=(5+2)/(5+3)=7/8
(25^3+16^3)/(25^3+9^3)=(25+16)/(25+9)=41/34
(34^3+21^3)/(34^3+13^3)=(34+21)/(34+13)=55/47
……你认为这些等式成立吗？你能归纳出一般性的结论并加以证明吗？

求解·要证明的】
辛苦啦~

Answer 1

分析：
经过观察，可以发现这个规律，

(a^3+b^3)/(a^3+c^3) = (a+b)/(a+c) …………(*)
其中，a、b、c均为正整数，且b≠c。

而，a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2), a^3+c^3 = (a+c)(a^2-ac+c^2)

所以，要使(*)式成立，只需令 a^2-ab+b^2 = a^2-ac+c^2 成立，
化简得，(b-c)(b+c-a)=0
因为，b≠c，所以只需 证明b+c =a 即可

************以下是证明过程（其实就是分析过程的逆推）************

证明：假设对于任意正整数a、b、c，满足a = b+c ，且b≠c

所以，(b-c)(b+c-a)=0,

化简得, b^2-c^2-ab+ac=0

上式变形得，a^2-ab+b^2 = a^2-ac+c^2

因为，a^2-ab+b^2 = (a-b)^2+ab >= ab > 0

所以，(a^2-ab+b^2)/(a^2-ac+c^2) = 1

所以有，(a^3+b^3)/(a^3+c^3) = (a+b)(a^2-ab+b^2) / [(a+c)(a^2-ac+c^2)]
= (a+b)/(a+c)

所以，对于任意正整数a、b、c (a=b+c，b≠c),
等式(a^3+b^3)/(a^3+c^3) = (a+b)/(a+c) 恒成立