Question

关于一道定积分的问题

设f(x)在[-a,a]上存在连续的二阶导数，f(0)=0，证明至少存在一点ξ∈[-a,a] ，使
我也是用泰勒和介值定理做的 可惜最后剩个变量消不掉了 o(╯□╰)o
顺便弱弱滴问下：由R(F)=[m,M]→R(F```)=[m,M] 的数学依据是什么？小子不才，请兔宝蹦赐教！

Answer 1

作变上限积分：令F(x)=∫(0,x)f(x)dx,则
F(a)=∫(0,a)f(x)dx,F(-a)=∫(0,-a)f(x)dx即-F(-a)=∫(-a,0)f(x)dx
F(a)-F(-a)=∫(-a,a)f(x)dx

F′(x)=f(x),F〃(x)=f′(x),F```(x)=f〃(x)
∴F′(0)=f(0)=0
将F(x)分别在x=a,x=-a处用泰勒公式展开:
F(a)=F(0)+F′(0)a+F〃(0)a²/2！+F```(ζ1)a³/3！,ζ1∈(0,a)
F(-a)=F(0)+F′(0)(-a)+F〃(0)(-a)²/2！+F```(ζ2)(-a)³/3！,ζ2∈(-a,0)
上式减下式：
F(a)-F(-a)=2aF′(0)+F```(ζ1)a³/6+F```(ζ2)a³/6
=[F```(ζ1)+F```(ζ2)]a³/6
∵f(x)在[-a,a]上存在连续的二阶导数
∴F(x)在[-a,a]上存在连续的三阶导数
可设m≤F```(x)≤M
∴m≤F```(ζ1)≤M,m≤F```(ζ2)≤M
∴m≤[F```(ζ1)+F```(ζ2)]/2≤M
由介值定理：至少存在一点ζ∈(ζ1,ζ2)包含于[-a,a],使
F```(ζ)=[F```(ζ1)+F```(ζ2)]/2
∴F```(ζ)a³/3=F(a)-F(-a)
即F```(ζ)=3/a³[F(a)-F(-a)]=3/a³∫(-a,a)f(x)dx

不好意思，敲得时候漏掉了，应该是F```(x),依据是：连续函数在闭区间上存在最大值和最小值，现在已改过来了