Question

高一生问一道数学题 求教

已知x、y、z∈R+，且 [根号下(x^2+y^2)] + z=1，则xy+2xz的最大值为______。

Answer 1

设1-z=r r在(0 1) x=rcosθ y=rsinθ 角在(0 pi/2) 令t=xy+2xz=r^2sinθcosθ+2(1-r)rcosθ t>0
(2-sinθ)cosθ *r^2-2rcosθ+t=0 则该方程有根 且根在(0 1)判别式大于0 如有根,此时两根和=2/(2-sinθ) 小于2 两根积大于0,必然存在一根小于1大于0,否则两根和大于等于2矛盾.所以只需要看判别式 cosθcosθ-t(2-sinθ)cosθ>=0 θ在(0 pi/2) cosθ+tsinθ>=2t 左边小于等于sqr(1+t*t) 2t<=SQR(1+t*t) t<=1/sqr(3)
等号成立条件方程有两等根 r=1/(2-sinθ) sinθ=t/sqr(1+t*t)=1/2
cosθ=sqr(3/2) 即等号成立时x=根3/3 y=1/3 z=1/3