Question

若函数f(x)=a^x*(a^x-3*a^2-1)在区间{x|x>=0}上是增函数，求a的取值范围

Answer 1

解：令x1>x2≥0

f（x1）-f（x2）=a^x1*(a^x1-3*a^2-1)-a^x2*(a^x2-3*a^2-1)

=(a^x1+a^x2)(a^x1-a^x2)-(3a^2+1)(a^x1-a^x2)

=(a^x1-a^x2)[a^x1+a^x2-(3a^2+1)]

因为在区间{x|x>=0}上是增函数，所以

(a^x1-a^x2)[a^x1+a^x2-(3a^2+1)]>0

1、当a∈（1，+∞）时，a^x1-a^x2>0在定义域内是恒成立的,

所以，a^x1+a^x2-(3a^2+1)>0，而在定义域内a^x1+a^x2>2，(最小值是x1=x2=0时取得的,但已知x1>x2≥0)

所以3a^2+1≤2，得-√3/3≤a≤√3/3，不合题意

2、当a∈（0，1）时，a^x1-a^x2<0在定义域内是恒成立的,

所以所以，a^x1+a^x2-(3a^2+1)<0，而在定义域内a^x1+a^x2<2，(最大值是x1=x2=0时取得的,但已知x1>x2≥0)

所以3a^2+1≥2，得a≥√3/3或a≤-√3/3，则a的范围是〔√3/3，1）

综合后得a的范围是〔√3/3，1）