Question

设数列｛an｝前n项和为Sn,且满足Sn=1/4*(an+1)^2,an大于0。

1)求a1,a2；
2)求an；
3)令bn=20-an，为数列｛bn｝的前多少项的和最大？

Answer 1

解：
(1)当n=1时，a1=S1=(1/4)*(a1+1)^2，解得：a1=1；
当n=2时，1+a2=a1+a2=S2=(1/4)*(a2+1)^2，解得：a2=3或a2=-1(舍).
(2)当n≥2时：
Sn=(1/4)*(an+1)^2=an^2/4+an/2+1/4，S(n-1)=a(n-1)^2/4+a(n-1)/2+1/4.
则an=Sn-S(n-1)=(an^2/4+an/2+1/4)-[a(n-1)^2/4+a(n-1)/2+1/4]
移项，整理得：[an+a(n-1)]*[an-a(n-1)-2]=0.
∵an>0
∴an+a(n-1)>0
∴an-a(n-1)-2=0，即an-a(n-1)=2.
数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列.
∴an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.
(3)由题意，bn=20-an=21-2n.令bn=21-2n≥0，得：n≤10.5
即从第11项开始将出现负数项，和开始减小.
因此数列｛bn｝的前10项的和最大，和最大是10*(1+19)/2=100.

Answer 2

1.4S1=4a1=(a1+1)^2
a1=1
4(a2+1)=(a2+1)^2
因为a2>0
所以a2=3
2.4S(n+1)=(a(n+1)+1)^2
4S(n)=(a(n)+1)^2
相减，(a(n)+1)^2=(a(n+1)-1)^2
所以a(n+1)=an+2
等差，an=2n-1
3.显然an=19时为bn的最后一个正数
此时n=10
所以是前10项和