Question

已知圆C：（x+4）^2+y^2=4和点A（-2√3,0），圆D的圆心在y轴上移动，且恒于圆C外切，设圆D与y轴交与点M、N

已知圆C：（x+4）^2+y^2=4和点A（-2√3,0），圆D的圆心在y轴上移动，且恒于圆C外切，设圆D与y轴交与点M、N。∠MAN是否为定值?若为定值，求出∠MAN的弧度数；若不为定值，说明理由。

Answer 1

∠MAN是定值

C(-4,0), 设D(0,t)

∵两圆外切

∴圆D半径=CD-圆C半径=√(t^2+16)-2

∴M(0, t+√(t^2+16)-2),N(0,t-√(t^2+16)+2)

∴kAM=[t+√(t^2+16)-2]/2√3, kAN=[t-√(t^2+16)+2]/2√3

MAN为直线AN到AM的角

∴tanMAN=(kAM-kAN)/(1+kAM*kAN)

=[(√(t^2+16)-2)/√3] / {1+[t^2-(√(t^2+16)-2)^2]/12}

=[√(t^2+16)-2]/√3 / {1+(1/12)[t^2-t^2-20+4√(t^2+16)]}

=[√(t^2+16)-2]/√3 / {(1/3)[√(t^2+16)-2]}=√3/3

∴MAN为定值60°