Question

还是一道不等式题

x1,x2,....xk 为整数 1=<k<=n 且这k个数的和等于他们的积
求证 (x1)^n-1+(x2)^n-1+...+(xk)^n-1>=kn
k=[(k-1)n+n-k]/(n-1)
>=[n^(k-1)]^(n-1)
即k^(n-1)>=n^(k-1)这一步看不懂哦

Answer 1

更改一个错误。就是x1,x2,....xk 为整数，改为x1,x2,....xk 为正数
证明：（只用AM-GM不等式就证出来了）

T=x1+x2+x3+..xk=x1x2x3...xk
于是
由AM-GM得
T>=kT^(1/k)
即T^(k-1)>=k^k
于是由AM-GM
(x1)^n-1+(x2)^n-1+...+(xk)^n-1
>=k(T)^[(n-1)/k]
只需证k(T)^[(n-1)/k]>=kn
而k(T)^[(n-1)/k]>=k*k^[(n-1)/(k-1)]
所以只需证k^[(n-1)/(k-1)]>=n
即k^(n-1)>=n^(k-1)
由AM-GM
k=[(k-1)n+n-k]/(n-1)
>=[n^(k-1)]^(n-1)
即k^(n-1)>=n^(k-1)
于是命题得证