Question

请教大家一些数学题

小华写出了两个尽可能小的奇数,它们的倒数之和正好等于两个偶数的倒数之和.小华写的两个奇数和两个偶数各是什么?

9个分数的和为1,他们的分子都是1,其中的5个是1/3,1/7,1/9,1/11,1/33,其余4个分数分母的个位数都是5,请写出这4个分数.

Answer 1

1.两个奇数分别是3和5，两个偶数分别是2和30，倒数和都为8/15;
2.这四个分数分别是1/5,1/15,1/45,1/385.
这两道题都是数论的知识，既要靠分析，可能也需要一些运气。
我解的过程是：
1.两个奇数的倒数相加后，考虑分母仍然是一个奇数（因为分母通分为两奇数的积或积的约数）所以对于偶数倒数的和的分母也应为奇数，所以两个偶数的积应包含两个奇数的因子。
设两个奇数为a,b， 而如果两个偶数是2a和2b的话，显然倒数和太小，2ma,2nb就更不可能了，所以我猜测偶数为2和2ab，因为2ab的倒数很小，1/2恰能保证足够大。
再来考虑两个奇数，1首先被排除在外，因为如果有1，那即使两个偶数都为2，都无法满足相等，退而求其次，我选3和5，那另外一个偶数就为2×3×5＝30，验证一下，恰好满足。
2.首先1/5必须有，否则把剩下的最大的四个数即1/15,1/25,1/35,1/45全加上总和也不够1，而1/15也必须有道理同上，这就确定了两个数。
因为前五个数里有1/7，说明其余八个数和为6/7，所以在剩下的两个数中必然要至少有一个数分母含有7的因子，又因为其是5的倍数，所以它应该是35的倍数。同理因为有1/11,所以必有一个数分母为55的倍数，因为有1/3+1/9=4/9,所以必然有一个数分母为45的倍数。说明重了，而且前七个数加起来之后，范围已经很小了，试一下发现剩余两个数为1/(5×9)和1/(5×7×11)
方法不是很严谨，暂时只能想到这种解法了。