Question

问到数学题高一的 我也是高一的 求助

如果实数m、n、x、y满足m^2+n^2=a,x^2+y^2=b，其中a、b为常数，那么mx+ny的最大值为（）
A、(a+b)/2 B、根号下ab C、根号下[(a^2+b^2)/2] D、 [根号下(a^2-b^2)]/2
中间有些括号 要看清哦。。 谢谢了

Answer 1

选B。
相信看了这道题，你和我一样，第一反应是均值定理，那关键就是怎么用啦。
要求mx+ny的最大值，那一定得求出一个不等式：mx+ny小于等于某一个值。在均值定理的公式都是某个和大于等于某个积的形式，因此，如果想证mx+ny小于等于什么，不能直接把它看作mx与ny的和用公式，一定得分别对mx和ny这两组乘积用，然后再相加。
如果这时不作任何处理就直接对两组乘积用均值定理，会得到：
mx+ny小于等于(m^2+x^2)/2+(n^2+y^2)/2
=[(m^2+n^2)+(x^2+y^2)]/2
=(a+b)/2
当且仅当m=x,n=y时等号成立。然而如果要让m=x,n=y，必须a=b。而题目条件中a不一定等于b，所以等号不一定能成立，也就是说，(mx+ny)不一定能取到(a+b)/2，可能总是比(a+b)/2小，(a+b)/2不一定是(mx+ny)的最大值。
为了改变这种情况，一定要让运用均值定理之后得到的式子中，m^2与x^2的系数之比、n^2与y^2的系数之比都为a/b；为了消掉m^2+n^2和x^2+y^2，又必须让m^2和n^2的系数相同，x^2和y^2的系数相同。为此，在应用均值定理前，将mx+ny改写成根号下ab分之一乘以根号下ab乘以（mx+ny)
过程如下：
mx+ny=1/(根号下ab)*根号下ab*(mx+ny)
=1/(根号下ab)*[(根号下b*m)*(根号下a*x)+(根号下b*n)*(根号下a*y)]
小于等于1/(根号下ab)*[(bm^2+ax^2/2)+(bn^2+ay^2)/2]
=1/(根号下ab)*(bm^2+bn^2+ax^2+ay^2)/2
=1/(根号下ab)*ab
=根号下ab
当且仅当根号下b*m=根号下a*x,且根号下b*n=根号下a*y时，等号成立。
这样处理，因为（m^2+n^2）/（x^2+y^2）=a/b，所以取等条件是一定能满足的，得到的结果也就一定是（mx+ny）的最大值。

Answer 2

解法一：
用三角函数做．利用cos²A＋sin²A＝1
如下：
设√a*cosA=m ,√a*sinA=n
√b*cosB=x ,√b*sinB=y
则 mx+ny=√ab*cosAcosB+√ab*sinAsinB
=√abcos(A-B)
因为 -1<cos(A-B)<1
所以 mx+ny=√ab

解法二：
令m=√a*sint
则n^2=a-a(sint)^2=a(cost)^2
因为cost值域关于原点对称
所以不妨令n=√acost
令x=√bcosu,
则同上，y=√bsinu
mx+ny=√(ab)sintcosu+√(ab)costsinu
=√(ab)(sintcosu+costsinu)
=√(ab)*sin(t+u)
所以最大值=√(ab)

解法三：
设向量p=（m，n），向量q=（x，y）
|p|=√（m^2+n^2）=√a，|q|=√（x^2+y^2）=√b
mx+ny=向量p*向量q≤|p||q|=√（ab），当且仅当p，q同向时取等号

Answer 3

两式相加，得m^+n^+x^+y^=a+
b因为 m^+x^≥2mx, n^+y^≥2ny
所以 2mx+2ny≤m^+n^+x^+y^
即 2（mx+ny)≤a+b
所以 mx+ny≤1/2(a+b)
则mx +ny 的最大值为1/2(a+b)

祝您学习愉快

Answer 4

B正确