
已知函数f(x)=x²-2x+1,g(x)=-bf【f(x+1)】+(3b-1)f(x+1)+2在区间(-∞,-2)上是减函数,
已知函数f(x)=x²-2x+1,g(x)=-bf【f(x+1)】+(3b-1)f(x+1)+2在区间(-∞,-2)上是减函数,且在区间(-2,0)上是增函数,...
已知函数f(x)=x²-2x+1,g(x)=-bf【f(x+1)】+(3b-1)f(x+1)+2在区间(-∞,-2)上是减函数,且在区间(-2,0)上是增函数,求实数b的值
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解:因为f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2,所以f(x+1)=(x+1-1)^2=x^2,f[f(x+1)]=f(x^2)=(x^2-1)^2。
于是,g(x)=-bf[f(x+1)]+(3b-1)f(x+1)+2=b(x^2-1)^2+(3b-1)x^2+2=bx^4+(b-1)x^2+b+2
因此,g'(x)=4bx^3+2(b-1)x
因为g(x)在区间(-∞,-2)上是减函数,且在区间(-2,0)上是增函数,所以g'(-2)=0。
于是,4b×(-2)^3+2(b-1)×(-2)=0,解得:b=1/9
此时,g'(x)=4/9×x^3-16/9×x=4/9×x(x+2)(x-2),
由此,不难知道,x<-2时,g"(x)<0,且-2<x<0时,g'(x)>0。
因此,所求得的b=1/9符合题意。
故:所求实数b的值为1/9。
PS.g'(-2)=0是“g(x)在区间(-∞,-2)上是减函数,且在区间(-2,0)上是增函数”的必要不充分条件,因此由g'(-2)=0求出b值后,一定要检验!否则可能产生增根。
于是,g(x)=-bf[f(x+1)]+(3b-1)f(x+1)+2=b(x^2-1)^2+(3b-1)x^2+2=bx^4+(b-1)x^2+b+2
因此,g'(x)=4bx^3+2(b-1)x
因为g(x)在区间(-∞,-2)上是减函数,且在区间(-2,0)上是增函数,所以g'(-2)=0。
于是,4b×(-2)^3+2(b-1)×(-2)=0,解得:b=1/9
此时,g'(x)=4/9×x^3-16/9×x=4/9×x(x+2)(x-2),
由此,不难知道,x<-2时,g"(x)<0,且-2<x<0时,g'(x)>0。
因此,所求得的b=1/9符合题意。
故:所求实数b的值为1/9。
PS.g'(-2)=0是“g(x)在区间(-∞,-2)上是减函数,且在区间(-2,0)上是增函数”的必要不充分条件,因此由g'(-2)=0求出b值后,一定要检验!否则可能产生增根。
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