Question

已知函数f（x）=x²-2x+1，g（x）=-bf【f（x+1）】+（3b-1）f（x+1）+2在区间（-∞，-2）上是减函数，

已知函数f（x）=x²-2x+1，g（x）=-bf【f（x+1）】+（3b-1）f（x+1）+2在区间（-∞，-2）上是减函数，且在区间（-2,0）上是增函数，求实数b的值

Answer 1

解：因为f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2，所以f(x+1)=(x+1-1)^2=x^2，f[f(x+1)]=f(x^2)=(x^2-1)^2。

于是，g(x)=-bf[f(x+1)]+(3b-1)f(x+1)+2=b(x^2-1)^2+(3b-1)x^2+2=bx^4+(b-1)x^2+b+2

因此，g'(x)=4bx^3+2(b-1)x

因为g(x)在区间(-∞，-2)上是减函数，且在区间(-2,0)上是增函数，所以g'(-2)=0。

于是，4b×(-2)^3+2(b-1)×(-2)=0，解得：b=1/9

此时，g'(x)=4/9×x^3-16/9×x=4/9×x(x+2)(x-2)，

由此，不难知道，x<-2时，g"(x)<0，且-2<x<0时，g'(x)>0。

因此，所求得的b=1/9符合题意。

故：所求实数b的值为1/9。

PS.g'(-2)=0是“g(x)在区间(-∞，-2)上是减函数，且在区间(-2,0)上是增函数”的必要不充分条件，因此由g'(-2)=0求出b值后，一定要检验！否则可能产生增根。